Pentingnya Sebuah Nama

Ada dua kewajiban orang tua yang mutlak harus diberikan kepada putra-putrinya yang baru lahir, adalah :

1. Memberikan nama yang baik
2. Memberikan kasih sayang.
Hadist Rasulullah saw, menerangkan sebagai berikut :
"Sebagian dari pada kewajiban ayah terhadap anaknya, ialah beri dia nama yang baik, ajari dia menulis, dan kawinkan dia apabila ia baligh". (HR. Ibnu Najjar).

Nama merupakan segala sesuatu yang berarti bagi sang anak. Karena nama mengandung sebuah makna dan harapan dari kedua orang tuanya. untuk itu, hendaknya orang tua memberikan nama yang mempunyai harapan baik di hari depannya, sehingga menjadi motivasi bagi sang anak dalam mengarungi bahtera kehidupan. Selain mengandung makna dan harapan kedua orang tua, nama sangat berarti untuk kepentingan itu sendiri, karena nama merupakan predikat dan identitas seseorang.

Nama Berperanan untuk Harga Diri
Salah satu hak anak yang harus dipenuhi oleh orang tuanya adalah memberikan nama yang baik. Nama yang diberikan orang tuanya seringkali menentukan kehormatannya. Dengan nama itu dapat menunjukkan identitas keluarganya, bangsa bahkan agama. Para ahli ilmu jiwa anak-anak maupun ahli pendidikan anak menyadari pentingnya nama dalam pembentukan konsep jati diri. Secara tidak sadar orang akan didorong untuk memenuhi citra (image, gambaran) yang terkandung dalam namanya. Teori labelling (penamaan) menjelaskan, kemungkinan seseorang menjadi jahat karena masyarakat menamainya sebagai penjahat. untuk itu Islam mengajarkan kepada umatnya "berilah nama yang baik kepada anak-anakmu". Karena nama mengandung unsur do'a dan harapan di masa yang akan datang.

Hak anak yang kedua dari orang tuanya ialah, mendapatkan kasih sayang. Banyak para orang tua secara fitri menyayangi anak-anaknya, tetapi sering kali kasih sayang itu tersembunyi. Anak-anak baru mengenal kecintaan orang tua mereka justru ketika orang tua itu sudah meninggal dunia. Sering kali para orang tua tidak mampu mengkomunikasikan kecintaannya. Untuk pertumbuhan kejiwaan mereka yang sehat, mereka memerlukan siraman cinta orang tua mereka.

Apa yang terjadi apabila anak kekurangan atau tidak pernah merasakan kasih sayang orang tuanya. para ahli telah menemukan bahwa pada anak-anak yang mengalami maternal deprivation (pemisah dari ibu) secara fisik (misalnya, karena perceraian atau orang tuanya meninggal) atau secara psikologis (yakni ia tidak terpisah dari orang tuanya secara fisik, tetapi ia tidak mendapatkan kasih sayang yang memadai), ternyata cenderung menderita kecemasan, rasa tidak tenteram, rendah diri, kesepian, agresivitas, negativisme (cenderung melawan orang tua), dan pertumbuhan kepribadian yang lambat. Kekurangan kasih sayang menghambat aktualisasi potensi kecerdasan yang dimilikinya, sehingga anak menjadi sukar belajar.

Pikiran seorang anak, demikian pula fisiknya, memerlukan bantuan untuk pertumbuhannya. Ada tiga macam "siraman" yang penting untuk pertumbuhan pikirannya, yaitu bahasa, bermain, dan kasih sayang.

Sejak bulan pertama kehidupannya, seorang anak perlu diajak bercakap-cakap, didekap, dan diasuh penuh kasih sayang, diberi senyuman, didengarkan dan dirangsang untuk memberikan reaksi dengan bunyi-bunyian atau gerakan. Mereka perlu sentuhan, teman bicara, teman tertawa, memberikan respon dan menerima respon.

Kurangnya perhatian akan membuat mereka tidak bahagia. Anak yang kurang perhatian akan kehilangan semangat hidup, kehilangan selera makan, sehingga pikiran dan badannya tidak tumbuh dengan baik.

Anak-anak belajar dengan melakukan banyak hal. Dengan demikian dalam masa pertumbuhannya, mereka perlu kebebasan untuk mencari dan bermain. Bermain-main bukanlah kegiatan yang tidak berarti, tetapi sangat penting untuk pertumbuhan anak dan dapat membantu mengembangkan mental, sosial, dan keterampilan fisiknya, termasuk berbicara dan berjalan. Bermain dapat merangsang rasa ingin tahu, kecakapan serta rasa percaya diri seorang anak. Bermain juga merupakan landasan sebagai dasar untuk mampu melakukan pekerjaan sekolahnya, mempelajari beberapa keterampilan yang perlu untuk kehidupan kemudian hari.

Bermain tidak selalu berarti menyelesaikan masalah atau mencapai apa saja yang direncanakan oleh orang tuanya. Akan tetapi, permainan anak-anak itu sendiri sangatlah penting sebagai dasar dalam mengenali potensi dirinya sendiri.

Merangsang anak-anak bermain dengan menyediakan barang-barang dan bermacam ide serta bahan adalah cara yang baik dalam membangun kreativitas anak. Alat permainan tidak selalu harus mahal. Dus-dus kosong atau alat rumah tangga sama bermanfaatnya dengan mainan-mainan yang mahal. permainan yang imajinatif, misalnya yang dapat berperan sebagai orang tua, sangatlah penting untuk perkembangan anak.

Anak perlu bantuan untuk mengembangkan daya cipta, mereka perlu tantangan untuk dapat memecahkan masalah dan memutuskan apa yang terbaik. Anak perlu menyatakan keinginannya dan keputusannya dan melihat apa yang akan terjadi.

Bernyanyi dan belajar irama, menggambar, membaca cerita dengan suara keras dapat membantu perkembangan pikiran anak dan mempersiapkan anak untuk belajar menulis dan membaca. Agar dapat tumbuh sehat, semua anak harus diberi pujian dan sanjungan atas semua hasil karyanya.

Semua orang dapat didukung untuk melakukan apa saja, dan tidak terkecuali anak-anak, adalah dukungan sosial. Hal ini biasanya berbentuk pujian atau boleh juga apa saja yang mengungkapkan perhatian, senyuman, lirikan, pelukan, kecupan, dekapan, perhatian yang mendalam, dan mendengarkan yang baik. Masalah orang tua yang utama ialah ketika harus bergaul dengan anak-anaknya pada saat mereka kurang menyukainya. Bila ayah pulang larut malam, ia lelah. Bila ibu juga pulang terlambat, ia kecapekan. Dan mereka harus melakukan banyak hal, bekerja sebagai panitia, menjalankan fungsi sosial, edukatif, dan lain-lain. Lalu apa yang sebaiknya harus dilakukan orang tua ?

Manfaatkanlah waktu yang ada. Pertama janganlah merasa terbebani dengan adanya anak. Hal ini sudah merupakan resiko manusia hidup dalam berumah tangga. Karena anak merupakan amanat Tuhan yang harus dipelihara sebaik-baiknya. Kedua, jika orang tua punya waktu, perhatikanlah waktu itu dengan serius. Inilah waktu untuk saling memahami, untuk mendukung perilaku kecil di mana orang tua menyetujui dari tingkah laku anak-anaknya. Jauh lebih baik lagi bila orang tua memberikan dukungan segera setelah hal-hal kecil itu terjadi. Suatu tingkah laku ataupun prestasi yang diikuti oleh suatu hadiah yang kecil tetapi langsung jauh lebih baik dari pada sebuah hukuman yang besar tetapi terlambat diberikan.

Sumber :
Hasan, Maimunah. 2001. Membangun Kreativitas Anak Secara Islami. Yogyakarta : Bintang cemerlang.

The Philosophy of Mathematics

The philosophy of mathematics is the branch of philosophy whose task is to reflect on, and account for the nature of mathematics. this is a special case of the task of epistemology which is to account for human knowledge in general. The philosophy of mathematics addresses such questions as : What is the basis for mathematical knowledge? What is the nature of mathematical truth? What characterises the truths of mathematics? What is the justification for their assertion? Why are the truth of mathematics necessary truths?.
A widely adopted approach to epistemology, is to assume that knowledge in any field is represented by a set of propositions, together with a set of procedures for verifying them, or providing a warrant for their assertion. On this basis, mathematical knowledge consists of a set of propositions together with their proofs. Since mathematical proofs are based on reason alone, without recourse to empirical data, mathematical knowledge is understood to be the most certain of all knowledge. Traditionally the philosophy of mathematics has seen its task as providing a foundationfor the certainty of mathematical knowledge. That is, providing a system into which mathematical knowledge can be cst to systematically establish its truth. This depends on an assumption, which is widely adopted, implicity if not explicity.

Assumption
The role of the philosophy of mathematics is to provide a systematic and absolutely secure foundation for mathematical knowledge, that is for mathematical truth. This assumption is the basis of foundationism, the doctrine that the function of philosophy of mathematics is ti provide certain foundations for the mathematical knowledge. Foundationism is bound up with the absolutist view of mathematical knowledge, for it regards the task of justifying this view to be central to the philosophy of mathematics.

Source :
Ernest, Paul. 1991. The Philosophy of Mathematics Education. London, UK : RoutledgeFalmer, Taylor & Francis Group.

DASAR PENGEMBANGAN PROFESI GURU

Sebagai suatu profesi, guru harus berkembang sesuai dengan persyaratan profesionalnya. Karena profesi guru memberikan layanan kepada masyarakat dan anak didik, maka diperlukan pengetahuan, keterampilan, dan sikap serta kemampuan yang selalu berkembang. Adapun dasar yang digunakan mengapa profesi keguruan harus dikembangkan adalah :
1. Dasar Filosofis
Guru pada hakekatnya adalah pendidik yang bertugas sebagai pemimpin atau pelayan (agogos). Sebagai pemimpin dan pelayan, guru harus dapat memberikan layanan kepada masyarakat dan anak didik sebaik-baiknya. Sementara tuntutan jaman dan tuntutan anak didik selalu berkembang dari waktu ke waktu. Untuk itu profesi guru harus selalu dikembangkan agar tidak tertinggal dari kemajuan zaman.
2. Dasar Psikologis
Guru selalu berhadapan dengan individu lain yang memiliki keunikan dan kekhasan masing-masing. Setiap individu memiliki pikiran, perasaan, kehendak, keinginan, fantasi, inteligensi, cita-cita, instink, perangai, dan performansi yang berbeda dengan individu lain. Jika guru tidak selalu meningkatkan pemahaman terhadap individu lain (anak didik), maka ia tidak akan dapat menerapkan strategi pelayanannya sesuai dengan keunikan anak didik. Di sinilah pentingnya guru mengembangkan pemahaman aspek psikologis individu lain.
3. Dasar Pendagogis
Tugas profesional utama guru adalah mendidik dan mengajar. Untuk dapat menjalankan tugas mendidik dan mengajar dengan baik, guru harus selalu membina diri untuk mengetahui dan menerapkan strategi mengajar baru, metode baru, teknik-teknik mendidik yang baru, menciptakan suasana pembelajaran yang bervariasi, dan kemampuan mengelola kelas dengan baik. Guru yang tidak mengembangkan kemampuan pembelajarannya selalu menerapkan cara pembelajaran yang telah puluhan tahun digunakan, dan sudah ketinggalan jaman. Guru akan selalu mengikuti perkembangan inovasi di bidang metode pembelajaran.
4. Dasar Ilmiah
Ilmu pengetahuan, teknologi dan seni selalu berkembang dengan pesat. Guru harus dapat mengembangkan cara berpikir ilmiah agar dapat selalu mengikuti perkembangan IPTEKS tersebut. Dalam melaksanakan tugas sehari-hari prinsip-prinsip ilmiah selalu dipegang teguh, agr tercipta keadilan dan keobjektifan dalam menyikapi perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi ini. Penggunaan sumber belajar yang monoton dan ketinggalan jaman harus dihindarkan. Salah satu ciri orang ilmiah adalah adanya rasa ingin tahu yang besar terhadap IPTEKS yang ditekuninya.
5. Dasar Sosiologis
Masyarakat modern dewasa ini menuntut guru untuk melakukan hubungan dengan orang, organisasi dan masyarakat dengan cara-cara modern juga. Profesi guru dituntut untuk selalu dikembangkan mengikuti teknik-teknik komunikasi lisan dan tertulis melalui media grafis, media massa, media elektronik, media organisatoris, dan media proses kelompok yang serba canggih harus dikenal dan diterapkan dalam proses mendidik. Guru harus pandai-pandai mengadakan hubungan sosial dengan mendayagunakan sarana dan media yang berkembang begitu pesat ini. Hal inilah yang mengharuskan profesi guru dikembangkan.

Sumber :
Soetopo, Hendyat. 2005. Pendidikan dan Pembelajaran : Teori, Permasalahan, dan Praktek. Malang : UMM Press.

PROSES BELAJAR-MENGAJAR SEBAGAI SISTEM

Sistem adalah suatu kesatuan yang terdiri atas komponen-komponen yang terpadu dan berproses untuk mencapai tujuan (Gordon, 1990 ; Puxty, 1990). Proses belajar-mengajar sebagai suatu system yang komponen-komponennya terdiri atas : 1) Siswa, 2) Guru, 3) Tujuan, 4) Materi, 5) Metode, 6) Evaluasi, dan 7) Lingkungan.
Masing-masing komonen itu sebagai bagian yang berdiri sendiri-sendiri, namun dalam beproses di kesatuan system mereka saling bergantung dan bersama-sama untuk mencapai tujuan. Masing-masing komponen system proses belajar-mengajar itu sedikit diulas seperti paparan berikut ini.

Siswa
Teori didaktik metodik telah bergeser dalam menempatkan siswa sebagai komponen proses belajar-mengajar (PBM). Siswa yang semula dipandang sebagai objek Pendidikan bergeser sebagai subjek Pendidikan. Sebagai subjek, siswa adalah kunci dari semua pelaksanaan Pendidikan. Tiada Pendidikan tanpa anak didik. Untuk itu, siswa harus dipahami dan dilayani sesuai dengan hak-hak dan tanggungjawabnya sebagai siswa. Siswa adalah individu yang unik. Mereka merupakan kesatuan psiko-fisis yang secara sosiologis berinteraksi dengan teman sebaya, guru, pengelola sekolah, pegawai administrasi, dan masyarakat pada umumnya. Mereka dating ke sekolah telah membawa potensi psikologis dan latar belakang kehidupan social. Masing-masing memiliki potensi dan kemampuan yang berbeda. Potensi dan kemampuan inilah yang harus dikembangkan oleh guru di sekolah.

Guru
Guru adalah sebuah profesi. Oleh sebab itu, pelaksanaan tugas guru harus profesional. Walaupun seorang guru sebagai individu memiliki kebutuhan pribadi dan memiliki keunikan tersendiri sebagai pribadi, namun guru mengemban tugas mengantarkan anak didiknya mencapai tujuan. Untuk itu, guru harus menguasai seperangkat kemampuan yang disebut kompetensi guru. Oleh sebab itu, tidak semua orang bisa menjadi guru yang profesional. Kompetensi guru itu mencakup menguasai siswa, menguasai tujuan, menguasai metode pembelajaran, menguasai materi, menguasai cara mengevaluasi, menguasai alat pembelajaran, dan menguasai lingkungan belajar.

Tujuan
Tujuan yang harus dipahami oleh guru meliputi tujuan berjenjang mulai dari tujuan pendidikan nasional, tujuan institusional, tujuan kurikuler, tujuan umum pembelajaran, sampai tujuan khusu pembelajaran. Proses belajar-mengajar tanpa tujuan bagaikan hidup tanpa arah. Oleh sebab itu, tujuan pendidikan secara keseluruhan harus dikuasai oleh guru. Tujuan disusun berdasarkan ciri karakteristik anak dan arah yang ingin dicapai.

Materi
Materi pembelajaran dalam arti luas tidak hanya yang tertuang dalam buku paket yang diwajibkan, akan tetapi mencakup keseluruhan materi pembelajaran. Setiap aktivitas belajar-mengajar pasti harus ada materinya. Anak yang sedang field-trip di kebun raya menggunakan materi jenis tumbuhan dan klasifikasinya. Anak yang praktikum di laboratorium menggunakan materi simbiose katak. Semua materi pembelajaran harus diorganisasikan secara sistematis agar mudah dipahami oleh anak. Materi disusun berdasarkan tujuan dan karakteristik siswa.

Metode
Metode mengajar adalah cara atau teknik penyampaian materi pembelajaran yang harus dikuasai oleh guru. Metode mengajar ditetapkan berdasarkan tujuan dan materi pembelajaran, serta karakteristik anak.

Sarana atau Alat
Agar materi pembelajaran lebih mudah dipahami oleh siswa, maka dalam proses belajar-mengajar digunakan alat pembelajaran. Alat pembelajaran dapat berupa benda yang sesungguhnya, imitasi atau tiruan, gambar, bagan, grafik, tabulasi dan sebagainya yang dituangkan dalam media. Media itu dapat berupa alat elektronik, alat cetak, dan tiruan. Menggunakan sarana atau alat pembelajaran harus disesuaikan dengan tujuan, anak, materi dan metode pembelajaran.

Evaluasi
Evaluasi dapat digunakan untuk menyusun gradasi kemampuan anak didik, sehingga ada penanda simbolik yang dilaporkan kepada semua pihak. Evaluasi dilaksanakan secara komprehensif, objektif, kooperatif, dan efektif. Evaluasi dilaksanakan berpedoman pada tujuan dan materi pembelajaran.

Lingkungan
Lingkungan pembelajaran merupakan komponen PBM yang sangat penting demi suksesnya belajar siswa. Lingkungan ini mencakup lingkungan fisik, lingkungan sosial, lingkungan alam, dan lingkungan psikologis pada waktu PBM berlangsung.

Semua komponen PBM itu harus dikelola sedemikian rupa sehingga belajar anak dapat maksimal untuk mencapai hasil yang maksimal pula.

Sumber :
Soetopo, Hendyat. 2005. Pendidikan dan Pembelajaran : Teori, Permasalahan, dan Praktek. Malang : UMM Press.

Tiga Teori yang Melandasi Pendidikan

(a) Teori Tabularasa (John Locke dan Francis Bacon)
Teori ini mengatakan bahwa anak yang baru dilahirkan itu dapat diumpamakan sebagai kertas putih yang belum ditulisi (a sheet ot white paper avoid of all characters). Jadi, sejak lahir anak itu tidak mempunyai bakat dan pembawaan apa-apa. Anak dapat dibentuk sekehendak pendidiknya. Di sini kekuatan ada pada pendidik. Pendidikan dan lingkungan berkuasa atas pembentukan anak.
Pendapat John Locke seperti di atas dapat disebut juga empirisme, yaitu suatu aliran atau paham yang berpendapat bahwa segala kecakapan dan pengetahuan manusia itu timbul dari pengalaman (empiri) yang masuk melalui alat indera.
Kaum behavioris juga berpendapat senada dengan teori tabularasa itu. Behaviorisme tidak mengakui adanya pembawaan dan keturunan, atau sifat-sifat yang turun-temurun. Semua Pendidikan, menurut behaviorisme, adalah pembentukan kebiasaan, yaitu menurut kebiasaan-kebiasaan yang berlaku di dalam lingkungan seorang anak.

(b) Teori Navitisme (Schopenhauer)
Lawan dari empirisme ialah nativisme. Nativus (latin) berarti karena kelahiran. Aliran nativisme berpendapat bahwa tiap-tiap anak sejak dilahirkan sudah mempunyai berbagai pembawaan yang akan berkembang sendiri menurut arahnya masing-masing. Pembawaan anak-anak itu ada baik dan ada yang buruk. Pendidikan tidak perlu dan tidak berkuasa apa-apa.
Aliran Pendidikan yang menganut paham nativisme ini disebut aliran pesimisme. Sedangkan yang menganut empirisme dan teori tabularasa disebut aliran optimisme.
Kedua teori tersebut ternyata berat sebelah. Kedua teori tersebut ada benarnya dan ada pula yang tidak benarnya. Maka dari itu, untuk mengambil kebenaran dari keduanya, William Stern, ahli ilmu jiwa bangsa Jerman, telah memadukan kedua teori itu menjadi satu teori yang disebut teori konvergensi.

(c) Teori Konvergensi (William Stern)
Menurut teori konvergensi hasil pendidikan anak dipengaruhi oleh dua faktor, yaitu pembawaan dan lingkungan. Diakui bahwa anak lahir telah memiliki potensi yang berupa pembawaan. Namun pembawaan yang sifatnya potensial itu harus dikembangkan melalui pengaruh lingkungan, termasuk lingkungan pendidikan, oleh sebab itu tugas pendidik adalah menghantarkan perkembangan semaksimal mungkin potensi anak sehingga kelak menjadi orang yang berguna bagi diri, keluarga, masyarakat, nusa, dan bangsanya.
Hak negara terhadap pengajaran dan pendidikan juga diterimanya dari Tuhan (bukan negara polisi atau totaliter), seperti hak orang tua terhadap anaknya. Tetapi, hak itu bukan karena kedudukannya sebagai orang tua, melainkan karena gezag atau kekuasaan yang menjadi milik negara untuk memajukan kesejahteraan umum dan mencerdaskan bangsanya, yang sudah menjadi tujuan negara itu sendiri.
Negara mempunyai hak dan kewajiban untuk menyelenggarakan pendidikan dan pengajaran bagi warga negaranya, sesuai dengan dasar-dasar dan tujuan negara itu sendiri, yaitu mengatur kehidupan umum menurut ukuran-ukuran yang sehat sehingga menjadi bantuan bagi pendidikan keluarga dan dapat mencegah apa-apa yang merugikan perkembangan anak untuk mencapai kedewasaannya.
Apabila keluarga tidak mungkin lagi melaksanakan pendidikan seluruhnya (misalnya pendidikan kecerdasan, pengajaran, dan sebagian dari pendidikan sosial ; perkumpulan anak-anak), disitulah negara, sesuai dengan tujuannya, harus membantu orang tua dengan jalan mendirikan sekolah-sekolah dan badan-badan sosial lainnya. Demikian juga, negara berhak dan berkewajiban melindungi anak-anak, bila kekuatan orang tua – baik material maupun moral – tidak dapat mencukupi, misalnya karena kurang mampu, tidak sanggup, atau lalai.
Jadi, jelas di sini bahwa hak orang-orang itu tidak mutlak. Hak itu terikat oleh hukum alam dan hukum Tuhan, dan pendidikan itu harus pula sesuai dengan kesejahteraan umum. Tetapi, hak negara yang demikian (turut campur tangan) tidak untuk menduduki tempat orang tua, namun hanya untuk menambah yang kurang saja. Apabila perlu – misalnya, hak orang tua itu dicabut (gila dan sebagainya) – negara harus berusaha memberikan pendidikan kepada si anak, yang sedapat-dapatnya mendekati pendidikan keluarga si anak atau menyerahkan anak itu pada keluarga lain, tidak perlu menjadikan anak milik negara.
Lebih lanjut, negara harus berusaha dan memberi kesempatan agar semua warga negara mempunyai pengetahuan cukup tentang kewajiban-kewajiban sebagai warga negara dan sebagai anggota bangsa yang mempunyai tingkat perkembangan jasmani dan rohani yang cukup, yang diperlukan untuk kesejahteraan umum (pendidikan kewarganegaraan), dan tidak bertentangan dengan tujuan pendidikan yang berlaku di negara yang bersangkutan.
Negara berhak memiliki sendiri apa yang perlu untuk pemerintahan dan untuk menjamin keamanan, juga untuk memimpin dan mendirikan sekolah-sekolah yang diperlukan untuk mendidik pegawai-pegawai dan tentaranya, asal pemimpin ini tidak mengurangi hak-hak orang tua.

Sumber :
Soetopo, Hendyat. 2005. Pendidikan dan Pembelajaran (Teori, Permasalahan, dan Praktek). Malang : UMM Press.

KETIDAKTERBATASAN

Sebuah tulisan tentang ketidakterbatasan dari arsip sejarah Matematika menyajikan masalah-masalah khusus. Salah satunya mempertimbangkan aspek-aspek philosofi maupun aspek keagamaan. Hal ini terutama berlaku pada masa Yunani kuno seperti yang dituliskan oleh Knorr. Dari saat orang-orang mulai berfikir tentang dunia di mana mereka tinggal, pertanyaan-pertanyaan mengenai ketidakterbatasan timbul.

Kita mulai menghitung ketidakterbatasan dengan fifth-century Eleatic abad ke-5 Zeno. Orang-orang Yunani awal telah berfikir bisakah sesuatu terus-menerus membagi benda menjadi kecil dan apakah sesuatu yang kecil tidak dapat dibagi lagi. Phytagoras telah membuktikan bahwa semua angka dan seluruh bidangnya diciptakan dari bilangan-bilangan (angka-angka asli terbatas). Lalu ada atomis yang mempercayai bahwa bahan-bahan disusun dari sebuah bilangan atau angka yang terbatas dari ketidakterbagian. Bagaimanapun paradoksnya Zeno menunjukkan keyakinan bahwa bahan secara terus-menerus dapat di bagi. Tentu paradoks ini timbul dari yang tidak terbatas. Ariestoteles mengkhawatirkan adanya ketidakterbatasan. Pembuktian Ariestoteles melawan ketidakterbatasan yang sebenarnya dan pada hal tersebut ia mempertimbangkan ketidakterbatasan. Idenya yang tidak dapat kita pahami tentang bilangan-bilangan asli sebagai sebuah keseluruhan.

Pada perang Babilonia memperkenalkan ide tentang kedudukan system bilangan yang untuk pertama kali memperbolehkan sebuah gambaran singkat bilangan tanpa limit yang menyertainya. Jika L adalah bilangan terbesar dan kita dapat menuliskan L+1 atau L^2, tetapi tetap terbatas. Pada kenyataannya apa yang Euclid buktikan apakah bilangan-bilangan utama kemungkinan besar adalah tidak terbatas.

Ariestoteles berfikir tentang keterbatasan dengan mengambil contoh dalam bidang yang berhubungan dengan ruang angkasa. Nicolas Cusa pada pertengahan abad ke-15 menjelaskan bahwa alam semesta adalah tidak terbatas dan bahwa bintang-bintang adalah matahari yang jauh. Pada abad ke-16 gereja katolik di Eropa mulai mencoba untuk meredam hal-hal yang menyimpang seperti itu. Giardano bukan seorang matematikawan atau ilmuwan, tetapi ia memperdebatkan dengan hebat kasus dari sebuah ketidakterbatasan alam semesta.

Galileo mempelajari persoalan dua lingkaran kosentris dengan pusat O dan mengusulkan penambahan sebuah angka tidak terbatas menjadi lebih kecil jaraknya untuk membuatnya sama dengan yang lebih besar.

Bagaimanapun kebanyakan angka-angka bentuknya sempurna. Galileo mengatakan hal ini hanya dengan maksud bahwa keseluruhan dari angka-angka adalah tidak terbatas dan bahwa bentuk angka-angka tidak terbatas, tidak ada dari bentuk-bentuk angka kurang dari keseluruhan angka-angka dan pada akhirnya sifat-sifat “sama”, “lebih dari”, “kurang” tidak dapat dipakai pada ketidakterbatasan tetapi hanya pada jumlah terbatas.

Cavalieri menulis geometric indivisibilibus kontivorum (1635) yang dia perkirakan garis sebagai perbandingan dari banyak batas dan luas dikenal dengan prinsip Cavalieri. Jika sebuah garis digerakkan parallel pada garis itu sendiri melewati dua daerah dan jika rasio dari panjang garis dengan setiap daerah selalu A : B lalu rasio daerahnya adalah A : B.

Roberval memperkenalkan metode-metode untuk membandingkan ukuran-ukuran ketidakterbagian, jadi walaupun mereka tidak memiliki besarnya sendiri salah satu dapat memberi definisi rasio dari besarnya mereka. Bagaimanapun ada perbedaan antara menggunakan metode yang benar dan menulis kondisi-kondisi yang benar-benar tepat pada saat hal itu dikerjakan . konsekuensinya paradoks dibangun dengan membiarkan beberapa metode dari ketidakterbagian menjadi ditolak.

Perguruan tinggi romawi menolak ketidakterbagian dan melarang pengajaran mereka di perguruan tinggi Jesuit pada tahun 1649. symbol ¥ (takterbatas) yang kita pergunakan untuk ketidakterbatasan sekarang ini, pertama kali digunakan oleh John Wallis yang menggunakannya pada De Sectionibus Conicis tahun 1655 dan juga pada Arithmatica Infinitorum tahun 1656.

Tiga tahun kemudian Fermat’s mengidentifikasikan sebuah sifat penting dari bilangan bulat positif yaitu bahwa bilangan tersebut tidak mengandung sebuah urutan yang menurun yang tidak terbatas, metode ini diperkenalkan tahun 1659. Fermat menggunakan metodenya untuk membuktikan bahwa ada penyelesaian bilangan bulat tidak positif untuk x^4 + y^4 = z^4.

Newton menolak ketidakterbagian yang mendukung dari perubahannya terus menerus yang merupakan suatu perubahan yang cepat dari suatu jumlah.

Immanuel Kant menjelaskan bahwa The critique of pure reason (1781) bahwa ketidakterbatasan sebenarnya tidak dapat bertahan karena hal itu tidak dapat dirasakan. Gauss pada sebuah suratnya untuk Schumacher tahun 1831 menjelaskan perlawanan ketidakterbatasan sebenarnya “ketidakterbatasan hanya sebuah facon de farler, arti sebenarnya adalah sebuah keterbatasan yang rasio khusus mendekatkan ketidakterdefinisian sementara yang lainnya dibiarkan untuk tumbuh tanpa keterbatasan”.

Fenstad, pada The Legacy of Egypt melihat pada ketidakterbatasan dan analisis yang tidak biasa. Dia jua menyelidiki penggunaannya pada model fenomena alam.

Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2004. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.

Mengkuadratkan Lingkaran

Permasalahan mengkuadratkan lingkaran seperti yang kita pikirkan saat ini berawal dari
Matematika Yunani dan tidak selalu dapat dimengerti seluruhnya. Masalahnya adalah,
pada lingkaran, membangun secara geometri kuadrat yang sama pada bidang lingkaran.
Metode yang menerangkan untuk membuat bangunan tersebut tidak begitu jelas,
sebenarnya jangkauan metode yang digunakan dalam geometri oleh orang-orang Yunani
diperluas melalui beberapa pengujian untuk memecahkan masalah ini dan masalah klasik
lainnya. selengkapnya...