Urutan merupakan salah satu ide matematis yang paling dasar. Kita menemukan urutan dalam bentuk aljabar saat kita belajar menghitung, dalam bentuk geometrik saat kita mengamati bahwa suatu objek berada disebelah kiri objek lainnya, atau objek tersebut berada diatara dua objek lainnya atau berada di sisi lintasan yang berlawanan dari objek lainnya.
Hal ini jelas diperlukan sebagai studi posisi relativ titik pada garis, tetapi penting juga sebagai definisi dan studi banyak ide ‘nonlinier’ yang penting. Tanpa konsep urutan, kita tidak mampu mengklarifikasi ide tentang arah, pemisahan, dan interioritas-tanpa geometri, kita bahkan tidak mampu mendefinisikan segitiga.
Bagaimana urutan dapat diperkenalkan dalam teori insidensi? ada dua cara dalam mempelajari konsep dalam teori matematis; 1 untuk mendefinisikan konsep sehubungan dengan maksud dasar lainnya; 2. untuk menganggap konsep sebagai maksud dasar dan mengkarakteristikan konsep dengan postulat yang sesuai. Tampaknya sulit untuk mendefinisikan ide urutan sehubungan dengan titik, garis, bidang-jadi kita akan gunakan prosedur yang kedua.
Ada dua teori urutan yang terkenal yang disebut dengan teori precedence (yang lebih didahulukan) dan teori betwenness (ke-antaraan). Pada teori yang pertama, elemen suatu himpunan “diurutkan” dengan menspesifikasi relasi dua suku (atau biner) yang disebut precedence, misalnya “ke sebelah kiri dari” dalam himpunan titik pada garis, atau “lebih besar dari” untuk himpunan bilangan rasional. Dalam teori kedua, relasi tiga suku (atau ternary) yang disebut ke-antaraan dispesifikasikan dalam suatu himpunan, sebagai contoh,” ke-antaraan untuk titik dalam garis. Tentu saja dalam setiap teori, postulat yang sesuai dapat saja diasumsikan.
Download selengkapnya.
Tampilkan postingan dengan label geometri. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label geometri. Tampilkan semua postingan
Kamis, 26 Juni 2008
POSTULAT SEJAJAR EUCLID
Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontoversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya(sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180 derajat, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut.
Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern, dan juga perlakukan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar.
Kita mulai mendaftarkan sejumlah asumsi atau postulat untuk geometri bidang Euclid.
I. sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya.
II. Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka junlahnya akan sama
III. Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama
IV. Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya
V. Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya.
VI. Setiap sudut memiliki bisector
VII. Setiap segmen memiliki titik tengah
VIII. Dua titik hanya berada pada satu satunya garis
IX. Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan
X. Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui
XI. Semua sudut siku-siku sama besar.
Dari postulat-postulat ini, dapat dideduksi sejumlah teorema dasar. Diantaranya adalah:
1. Sudut bertolak bertolak belakang sama besar
2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)
3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki , dan konversinya.
4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut.
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
6. Pembentukan suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya.
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.
Download selengkapnya.
Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya(sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180 derajat, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut.
Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern, dan juga perlakukan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar.
Kita mulai mendaftarkan sejumlah asumsi atau postulat untuk geometri bidang Euclid.
I. sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya.
II. Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka junlahnya akan sama
III. Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama
IV. Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya
V. Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya.
VI. Setiap sudut memiliki bisector
VII. Setiap segmen memiliki titik tengah
VIII. Dua titik hanya berada pada satu satunya garis
IX. Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan
X. Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui
XI. Semua sudut siku-siku sama besar.
Dari postulat-postulat ini, dapat dideduksi sejumlah teorema dasar. Diantaranya adalah:
1. Sudut bertolak bertolak belakang sama besar
2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)
3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki , dan konversinya.
4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut.
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
6. Pembentukan suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya.
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.
Download selengkapnya.
Selasa, 24 Juni 2008
Geometri Riemann
Atas terpecahkan permasalahan postulat sejajar Euclid oleh Bolyai dan Lobachevsky, para ahli matematika distimulasi dengan hadirnya teori geometri non-Euclid. Teori yang paling terkenal diusulkan oleh Riemann di tahun 1854. Teori Riemann kontradiksi dengan postulat sejajar Euclid dengan mengasumsikan prinsip berikut ini:
Postulat sejajar Riemann : Tidak ada garis yang sejajar
Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Dalam teori pertama, sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. Dalam teori kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang. Teori ini disebut geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap dua. (Istilah “tunggal” dan “rangkap” mengindikasikan sifat perpotongan dua garis dalam geometri; dan Istilah “eliptik” digunakan dalam artian suatu klasifikasi yang didasarkan atas geometri projektif dimana geometri Euclid dan Lobachevskian disebut parabolic dan hiperbolik).
Download selengkapnya.
Postulat sejajar Riemann : Tidak ada garis yang sejajar
Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Dalam teori pertama, sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. Dalam teori kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang. Teori ini disebut geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap dua. (Istilah “tunggal” dan “rangkap” mengindikasikan sifat perpotongan dua garis dalam geometri; dan Istilah “eliptik” digunakan dalam artian suatu klasifikasi yang didasarkan atas geometri projektif dimana geometri Euclid dan Lobachevskian disebut parabolic dan hiperbolik).
Download selengkapnya.
Geometri Lobachevsky
Postulat Kesejajaran Lobachevskian :
Ada sedikitnya dua persamaan garis yang dapat ditentukan melalui titik yang diketahui dan tidak terletak pada garis
Teorema Nonmetrical
Teorema 1 :
Any line is contained wholly in the interior of some angle
(Sebarang garis dimuat secara keseluruhan didalam interior dari beberapa sudut)
Corollary :
There are infinitely many lines parallel to a given line through a given point not on the line
(Jika diberikan suatu garis, maka ada banyak garis yang sejajar tak hingga dengan memberikan suatu titik yang tidak pada garis tersebut)
Jumlah Sudut Suatu Segitiga didalam Geometri Lobachevskian
LEMMA 1.
Penjumlahan dua sudut suatu segitiga adalah kurang dari atau sama dengan sudut luarnya.
LEMMA 2.
Misal L suatu garis, titik P tidak berada di garis L, dan titik Q berada di garis L.
Misal diberikan garis PQ sebagai sisinya.
Kemudian di sana ada suatu titik R di L, pada sisi PQ yang diberikan,
Sedemikian hingga < PRQ adalah sudut kecil seperti yang kita lihat.
Teorema 2.
Berlaku pada segitiga dengan jumlah derajat sudut kurang dari 180°.
Teorema 3.
Jumlah sudut dari sudut segitiga tidak lebih dari 180°.
Corollary 1.
Jumlah sudutnya dari setiap yang bersisi empat tidak lebih dari 360°.
Corollary 2.
Tidak pasti ada empat persegipanjang.
Teorema 4 :
Two triangles are congruent if their corresponding angles are equal
(Dua segitiga kongruen, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama)
Download selengkapnya
Ada sedikitnya dua persamaan garis yang dapat ditentukan melalui titik yang diketahui dan tidak terletak pada garis
Teorema Nonmetrical
Teorema 1 :
Any line is contained wholly in the interior of some angle
(Sebarang garis dimuat secara keseluruhan didalam interior dari beberapa sudut)
Corollary :
There are infinitely many lines parallel to a given line through a given point not on the line
(Jika diberikan suatu garis, maka ada banyak garis yang sejajar tak hingga dengan memberikan suatu titik yang tidak pada garis tersebut)
Jumlah Sudut Suatu Segitiga didalam Geometri Lobachevskian
LEMMA 1.
Penjumlahan dua sudut suatu segitiga adalah kurang dari atau sama dengan sudut luarnya.
LEMMA 2.
Misal L suatu garis, titik P tidak berada di garis L, dan titik Q berada di garis L.
Misal diberikan garis PQ sebagai sisinya.
Kemudian di sana ada suatu titik R di L, pada sisi PQ yang diberikan,
Sedemikian hingga < PRQ adalah sudut kecil seperti yang kita lihat.
Teorema 2.
Berlaku pada segitiga dengan jumlah derajat sudut kurang dari 180°.
Teorema 3.
Jumlah sudut dari sudut segitiga tidak lebih dari 180°.
Corollary 1.
Jumlah sudutnya dari setiap yang bersisi empat tidak lebih dari 360°.
Corollary 2.
Tidak pasti ada empat persegipanjang.
Teorema 4 :
Two triangles are congruent if their corresponding angles are equal
(Dua segitiga kongruen, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama)
Download selengkapnya
Rabu, 07 Mei 2008
Persamaan Pada Bidang Koordinat
Tempat kedudukan suatu titik dimana antara koordinat x,y,z terdapat hubungan yang dinyatakan oleh suatu persamaan f(x,y,z) = 0 merupakan suatu permukaan bidang lengkung atau bidang rata.
Jika ditentukan dua hubungan antara ketiga koordinat x,y,z : f(x,y,z) + 0 dan g(x,y,z) = 0, maka pasangan-pasangan nilai x,y,z yang memenuhi pada kedua persamaan itu, adalah koordinat-koordinat titik-titik persekutuan kedua bidang yang dinyatakan oleh persamaan-persamaan itu, dan juga sebagai koordinat-koordinat garis lengkung potong kedua bidang.
Berikut ini diberikan beberapa persamaan yang ditampilkan menggunakan software Maple 11 :
1. Persamaan z^2 - 9 = 0 menyatakan dua bidang rata z = 3 dan z = -3 sejajar bidang XOY.
2. Persamaan x^3-x^2-2*x = 0 menyatakan tiga bidang rata x = 0, x = 2, dan x = -1 sejajar bidang YOZ.
3. Persamaan x^2+y^2+z^2 = 9 menyatakan permukaan suatu bola dengan pusat (0,0,0) dan jari-jari 3.
4. a:{(x,y,z)2*x+y+z = 8, y = 2} merupakan perpotongan bidang-bidang 2*x+y+z = 8, dan y = 2, berarti merupakan garis lurus.
5. b:{(x,y,z)x^2+y^2+z^2 = 4, z = 0} merupakan perpotongan bola dan bidang rata, berarti merupakan lingkaran.
6. c:{(x,y,z)x^2+y^2 = 3*z, 2*x - y - z = 0}
7. d:{(x,y,z)x^2+y^2+z^2 = 1 dan x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1
%5E2%2B(z-1)%5E2%3D1.JPG)
8. Persamaan y = 3 menyatakan suatu bidang rata sejajar bidang XOZ dengan jarak 3
9. Persamaan x^3 + 2*x*y - 6 = 0 menyatakan permukaan suatu bidang lengkung yang garis-garis pelukisnya sejajar dengan sumbu z
Jika ditentukan dua hubungan antara ketiga koordinat x,y,z : f(x,y,z) + 0 dan g(x,y,z) = 0, maka pasangan-pasangan nilai x,y,z yang memenuhi pada kedua persamaan itu, adalah koordinat-koordinat titik-titik persekutuan kedua bidang yang dinyatakan oleh persamaan-persamaan itu, dan juga sebagai koordinat-koordinat garis lengkung potong kedua bidang.
Berikut ini diberikan beberapa persamaan yang ditampilkan menggunakan software Maple 11 :
1. Persamaan z^2 - 9 = 0 menyatakan dua bidang rata z = 3 dan z = -3 sejajar bidang XOY.
2. Persamaan x^3-x^2-2*x = 0 menyatakan tiga bidang rata x = 0, x = 2, dan x = -1 sejajar bidang YOZ.
3. Persamaan x^2+y^2+z^2 = 9 menyatakan permukaan suatu bola dengan pusat (0,0,0) dan jari-jari 3.
4. a:{(x,y,z)2*x+y+z = 8, y = 2} merupakan perpotongan bidang-bidang 2*x+y+z = 8, dan y = 2, berarti merupakan garis lurus.
5. b:{(x,y,z)x^2+y^2+z^2 = 4, z = 0} merupakan perpotongan bola dan bidang rata, berarti merupakan lingkaran.
6. c:{(x,y,z)x^2+y^2 = 3*z, 2*x - y - z = 0}
7. d:{(x,y,z)x^2+y^2+z^2 = 1 dan x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1 ^2+(z-1)^2=1.JPG)
8. Persamaan y = 3 menyatakan suatu bidang rata sejajar bidang XOZ dengan jarak 3
9. Persamaan x^3 + 2*x*y - 6 = 0 menyatakan permukaan suatu bidang lengkung yang garis-garis pelukisnya sejajar dengan sumbu z
10. Persamaan x^2 + z^2 = 4 menyatakan permukaan silinder sejajar sumbu Y
11. Persamaan x + 2*y + 3*z = 6 menyatakan permukaan bidang rata.
Sumber :
11. Persamaan x + 2*y + 3*z = 6 menyatakan permukaan bidang rata.
Hambali, Yulius. 1986. MODUL 1-6 BUKU MATERI POKOK GEOMETRI ANALITIK RUANG. Universitas Terbuka, Jakarta : Karunia.
Langganan:
Postingan (Atom)
