Salah satu cara untuk mengorganisasi informasi yang jumlahnya banyak adalah memilih faktor-faktor yang mempengaruhi motivasi pada saat-saat yang berbeda dalam proses belajar (Wlodkowski, 1982).
Sebagai siswa yang mulai belajar di kelas, mereka membawa sikap dan kebutuhan-kebutuhan. Keduanya, sikap dan kebutuhan mempengaruhi motivasi dan partisipasi di dalamnya. Selama pelajaran, terlihat segera kegiatan siswa, perasaan-perasaannya dan pengalaman-pengalamannya mempengaruhi motivasi. Jika siswa merasa kompeten karena prestasi mereka sendiri dan usaha-usaha mereka di-reinforced sesudah akhir pelajaran, mereka akan lebih termotivasi untuk mengikuti tugas-tugas yang sama pada waktu yang akan datang.
1. Sebelum Belajar : Sikap dan Kebutuhan
Sebelum mulai kegiatan belajar, Wlodkowski (1981) menyarankan supaya guru membuat pertanyaan bagi dirinya sendiri yang berhubungan dengan motivasi. (1) APa yang dapat saya lakukan untuk menjamin sikap positif saya terhadap kegiatan yang akan datang ? (2) Bagaimana yang paling baik supaya saya dapat menerima kebutuhan-kebutuhan siswa saya melalui kegiatan ini ?
Untuk menjawab pertanyaan pertama, kita harus tahu faktor-faktor apa yang mempengaruhi sikap-sikap siswa. Kita telah membicarakan bentuk-bentuk sikap positif dan negatif terhadap sekolah ketika kita mempelajari classical conditioning. Penerapan prinsip classical conditioning yaitu situasi yang mengelilingi siswa dibuat sepositif mungkin. Ditambah untuk memberi pengalaman-pengalaman yang menyenangkan bagi siswa untuk belajar, guru dapat juga berkonfrontasi dengan sikap-sikap siswa yang negatif secara langsung. Di dalam kelas matematika, guru mungkin menanyakan pada dirinya sendiri bagaimana siswa yang begitu banyak percaya terhadap materi yang sangat sulit yang diberikan ? Apakah dasarnya terhadap kesan saya ini ? Apa yang membuat materi pelajaran lebih mudah ?. Sikap yang paling besar dipengaruhi oleh pengalaman-pengalaman yang terdahulu dengan situasi yang sama, sehingga sikap positif terus-menerus menantang guru.
Untuk pengajaran, guru dalam mencapai perkembangan yang penuh dan menghadapi tugas-tugas yang relevan meliputi kebutuhan akan berprestasi, tingkat aspirasi dan mempertemukan kebutuhan siswa.
Sebagai seorang guru, motivasi berprestasi mungkin dapat membantu dalam merencanakan kegiatan-kegiatan, dimana siswa membutuhkan untuk berprestasi dan menghindari kegagalan. Menurut teori ini, siswa yang bermotivasi tinggi untuk mencapai prestasi akan merespons dan menantang lebih banyak terhadap tugas-tugas yang diberikan guru, mendapat nilai-nilai yang baik, memberikan umpan balik yang jitu dan benar, menyampaikan masalah-masalah yang baru dan tidak biasa, dan mencari kesempatan untuk mencoba lagi. Siswa yang lebih bersifat menghindari kegagalan akan merespond lebih baik terhadap pekerjaan yang kurang menantang, membutuhkan banyak reinforcement untuk bisa sukses, membuat langkah-langkah kecil dalam belajar, memerlukan nilai-nilai yang toleran, dan menghindari orang-orang lain mengetahui kesalahannya.
1.1 Tingkat Aspirasi
Tujuan yang akan kita capai dan ketakutan akan kegagalan dapat menentukan tingkat aspirasi kita. Tujuan yang kita percaya bahwa kita dapat mencapainya dan bersedia untuk bekerja keras merupakan aspirasi kita. Tingkat aspirasi yang tinggi membutuhkan tantangan dan tujuan yang sulit. Jika seseorang sukses mereka cenderung untuk menaikkan aspirasi mereka.
Sebaliknya, kegagalan kurang dapat diramalkan. Sebagian besar tergantung pada individu itu sendiri sebagai penyebab kegagalan. Kegagalan mungkin berakibat positif sama seperti akibat negatif. Beberapa pengalaman dengan kegagalan dapat sangat berharga bagi individu itu untuk lebih berhati-hati dalam menentukan tindakan. Beberapa siswa tetap belajar walaupun menghadapi kegagalan dan ini merupakan sikap yang sangat penting dalam pembentukan kepribadian.
Pada suatu ketika, mungkin banyak siswa membutuhkan bantuan untuk menemukan sekian alternatif dalam mencapai tujuan mereka atau tujuan yang baru dan lebih realistis. Beberapa siswa mungkin membutuhkan dukungan untuk tingkat aspirasinya yang lebih tinggi dalam menghadapi suku atau kebudayaan lain yang berbeda pandangan dengan mereka. Apa yang "seharusnya" mereka lakukan dan apa yang "seharusnya tidak" mereka lakukan.
Sumber :
Djiwandono, Sri Esti Wuryani. 2002. Psikologi Pendidikan. Jakarta : Grasindo.
Jumat, 19 September 2008
Motivasi Siswa
Pengertian dasar motivasi ialah keadaan internal organisme baik manusia ataupun hewan yang mendorongnya untuk berbuat sesuatu. Dalam pengertian ini, motivasi berarti pemasok daya (energizer) untuk bertingkah laku secara terarah (Gleitman, 1986 ; Reber, 1988).
Dalam perkembangan selanjutnya, motivasi dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu 1) motivasi inrinsik 2) motivasi ekstrinsik. Motivasi intrinsik adalah hal dan keadaan yang berasal dari dalam diri siswa sendiri yang dapat mendorongnya melakukan tindakan belajar. Termasuk dalam motivasi intrinsik siswa adalah perasaan menyenangi materi dan kebutuhannya terhadap materi tersebut, misalnya untuk kehidupan masa depan siswa yang bersangkutan.
Adapun motivasi ekstrinsik adalah hal dan keadaan yang datang dari luar individu siswa yang juga mendorongnya untuk melakukan kegiatan belajar. Pujian dan hadiah, peraturan/tata tertib sekolah, suri teladan orang tua, guru, dan seterusnya merupakan contoh-contoh konkret motivasi ekstrinsik yang dapat menolong siswa untuk belajar. Kekurangan atau ketiadaan motivasi, baik yang bersifat internal maupun yang bersifat eksternal, akan menyebabkan kurang bersemangatnya siswa dalam melakukan proses mempelajari materi-materi pelajaran baik di sekolah maupun di rumah.
Dalam perspektif psikologi kognitif, motivasi yang lebih signifikan bagi siswa adalah motivasi intrinsik karena lebih murni dan langgeng serta tidak bergantung pada dorongan atau pengaruh orang lain. Selanjutnya, dorongan mencapai prestasi dan dorongan memiliki pengetahuan dan keterampilan untuk masa depan juga memberi pengaruh kuat dan relatif lebih langgeng dibandingkan dengan dorongan hadiah atau dorongan keharusan dari orang tua dan guru.
Sumber :
Syah, Muhibbin. 2005. Psikologi Belajar. Jakarta : RajaGrafindo Persada.
Dalam perkembangan selanjutnya, motivasi dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu 1) motivasi inrinsik 2) motivasi ekstrinsik. Motivasi intrinsik adalah hal dan keadaan yang berasal dari dalam diri siswa sendiri yang dapat mendorongnya melakukan tindakan belajar. Termasuk dalam motivasi intrinsik siswa adalah perasaan menyenangi materi dan kebutuhannya terhadap materi tersebut, misalnya untuk kehidupan masa depan siswa yang bersangkutan.
Adapun motivasi ekstrinsik adalah hal dan keadaan yang datang dari luar individu siswa yang juga mendorongnya untuk melakukan kegiatan belajar. Pujian dan hadiah, peraturan/tata tertib sekolah, suri teladan orang tua, guru, dan seterusnya merupakan contoh-contoh konkret motivasi ekstrinsik yang dapat menolong siswa untuk belajar. Kekurangan atau ketiadaan motivasi, baik yang bersifat internal maupun yang bersifat eksternal, akan menyebabkan kurang bersemangatnya siswa dalam melakukan proses mempelajari materi-materi pelajaran baik di sekolah maupun di rumah.
Dalam perspektif psikologi kognitif, motivasi yang lebih signifikan bagi siswa adalah motivasi intrinsik karena lebih murni dan langgeng serta tidak bergantung pada dorongan atau pengaruh orang lain. Selanjutnya, dorongan mencapai prestasi dan dorongan memiliki pengetahuan dan keterampilan untuk masa depan juga memberi pengaruh kuat dan relatif lebih langgeng dibandingkan dengan dorongan hadiah atau dorongan keharusan dari orang tua dan guru.
Sumber :
Syah, Muhibbin. 2005. Psikologi Belajar. Jakarta : RajaGrafindo Persada.
Selasa, 19 Agustus 2008
Sumber-Sumber Masalah Penelitian Pendidikan
Pemilihan masalah yang tepat selamanya sukar. Umumnya mahasiswa pemula mendapatkan kesulitan di tahap ini bahkan peneliti yang lebih berpengalaman pun, juga masih ada keragu-raguan di tahap pemilihan masalah ini. Dalam hubungan ini, seseorang dituntut komitmen dan tanggungjawabnya yang sungguh-sungguh untuk memilih masalah yang benar-benar berarti secara akademis, untuk itu mungkin akan menuntuk banyak pengorbanan waktu, tenaga, dan mungkin juga dana.
Dari manakah masalah penelitian itu bisa diperoleh ?. Dengan kata lain, manakah sumber-sumber yang daripadanya bisa diangkat atau ditarik sesuatu masalah yang tepat untuk diteliti ?. Diantara sumber-sumber dimaksud adalah :
1) Fenomena pendidikan di ruang-ruang kuliah, di sekolah, dan di masyarakat. Di ruang-ruang kuliah, di sekolah, dan di masyarakat sebetulnya banyak fenomena kependidikan yang tepat diangkat menjadi masalah penelitian. Itulah gudang sumber masalah, tentu saja bagi mereka yang jeli, penuh imajinasi, serta kuat rasa ingin tahunya. Masalah-masalah yang menarik dan menggoda, misalnya : Dalam keadaan bagaimanakah sesuatu metode mengajar itu efektif ?. Bagaimana pendapat para guru mengenai model satuan pelajaran ? Bagaimanakah cara belajar siswa aktif di sekolah ? Bagaimanakah pendapat orang tua mengenai pendidikan seks ? Faktor-faktor luar manakah yang mempengaruhi tingkah laku belajar pelajar mahasiswa ?. Dari contoh-contoh tadi, nyata sekali bahwa ada banyak masalah menarik yang bisa diangkat dari pengalaman dan lingkungan terdekat mahasiswa itu sendiri. Bagi para pemula di kerja penelitian, barangkali lebih baik memilih masalah-masalah yang lebih dekat dengan pengalaman dan lingkungannya, ketimbang memilih masalah-masalah yang relatif jauh dari jangkauannya.
2) Perubahan teknologi dan pengembangan kurikulum, selamanya membawa berbagai problem baru dan kesempatan baru bagi suatu kerja penelitian. Sekarang ini, lebih dari sebelumnya, inovasi-inovasi pendidikan telah ikut memajukan pengelolaan kelas, bahan dan prosedur belajar, dan penggunaan alat-alat dan perlengkapan teknik. Inovasi-inovasi tadi, seperti pengajaran melalui TV, pengajaran berprograma, pendidikan melalui permainan, konsep-konsep dan pendekatan baru dari sesuatu mata pelajaran, penggunaan jadwal yang fleksibel, pelaksanaan sistem kredit, dan sebagainya, kesemuanya perlu dievaluasi secara teliti melalui penelitian (Proses penelitian).
3) Pengalaman-pengalaman akademis itu sendiri, seharusnya bisa menstimulir sikap bertanya terhadap berbagai praktek pendidikan yang berlaku luas di masyarakat. Sikap bertanya dimaksud, juga seharusnya efektif di dalam pengembangan pengenalan terhadap masalah.
4) Berkonsultasi dengan dosen-dosen pengajar, dosen-dosen penasehat, atau seseorang guru besar, juga berguna dan juga merupakan sumber pula di dalam rangka menemukan masalah penelitian.
Sumber :
Best, John W. Disunting oleh : Faisal, Sanapiah dan Wasero, Mulyadi G. 1982. Metodologi Penelitian Pendidikan. Surabaya : Usaha Nasional.
Dari manakah masalah penelitian itu bisa diperoleh ?. Dengan kata lain, manakah sumber-sumber yang daripadanya bisa diangkat atau ditarik sesuatu masalah yang tepat untuk diteliti ?. Diantara sumber-sumber dimaksud adalah :
1) Fenomena pendidikan di ruang-ruang kuliah, di sekolah, dan di masyarakat. Di ruang-ruang kuliah, di sekolah, dan di masyarakat sebetulnya banyak fenomena kependidikan yang tepat diangkat menjadi masalah penelitian. Itulah gudang sumber masalah, tentu saja bagi mereka yang jeli, penuh imajinasi, serta kuat rasa ingin tahunya. Masalah-masalah yang menarik dan menggoda, misalnya : Dalam keadaan bagaimanakah sesuatu metode mengajar itu efektif ?. Bagaimana pendapat para guru mengenai model satuan pelajaran ? Bagaimanakah cara belajar siswa aktif di sekolah ? Bagaimanakah pendapat orang tua mengenai pendidikan seks ? Faktor-faktor luar manakah yang mempengaruhi tingkah laku belajar pelajar mahasiswa ?. Dari contoh-contoh tadi, nyata sekali bahwa ada banyak masalah menarik yang bisa diangkat dari pengalaman dan lingkungan terdekat mahasiswa itu sendiri. Bagi para pemula di kerja penelitian, barangkali lebih baik memilih masalah-masalah yang lebih dekat dengan pengalaman dan lingkungannya, ketimbang memilih masalah-masalah yang relatif jauh dari jangkauannya.
2) Perubahan teknologi dan pengembangan kurikulum, selamanya membawa berbagai problem baru dan kesempatan baru bagi suatu kerja penelitian. Sekarang ini, lebih dari sebelumnya, inovasi-inovasi pendidikan telah ikut memajukan pengelolaan kelas, bahan dan prosedur belajar, dan penggunaan alat-alat dan perlengkapan teknik. Inovasi-inovasi tadi, seperti pengajaran melalui TV, pengajaran berprograma, pendidikan melalui permainan, konsep-konsep dan pendekatan baru dari sesuatu mata pelajaran, penggunaan jadwal yang fleksibel, pelaksanaan sistem kredit, dan sebagainya, kesemuanya perlu dievaluasi secara teliti melalui penelitian (Proses penelitian).
3) Pengalaman-pengalaman akademis itu sendiri, seharusnya bisa menstimulir sikap bertanya terhadap berbagai praktek pendidikan yang berlaku luas di masyarakat. Sikap bertanya dimaksud, juga seharusnya efektif di dalam pengembangan pengenalan terhadap masalah.
4) Berkonsultasi dengan dosen-dosen pengajar, dosen-dosen penasehat, atau seseorang guru besar, juga berguna dan juga merupakan sumber pula di dalam rangka menemukan masalah penelitian.
Sumber :
Best, John W. Disunting oleh : Faisal, Sanapiah dan Wasero, Mulyadi G. 1982. Metodologi Penelitian Pendidikan. Surabaya : Usaha Nasional.
Kamis, 26 Juni 2008
TEORI URUTAN PADA GARIS
Urutan merupakan salah satu ide matematis yang paling dasar. Kita menemukan urutan dalam bentuk aljabar saat kita belajar menghitung, dalam bentuk geometrik saat kita mengamati bahwa suatu objek berada disebelah kiri objek lainnya, atau objek tersebut berada diatara dua objek lainnya atau berada di sisi lintasan yang berlawanan dari objek lainnya.
Hal ini jelas diperlukan sebagai studi posisi relativ titik pada garis, tetapi penting juga sebagai definisi dan studi banyak ide ‘nonlinier’ yang penting. Tanpa konsep urutan, kita tidak mampu mengklarifikasi ide tentang arah, pemisahan, dan interioritas-tanpa geometri, kita bahkan tidak mampu mendefinisikan segitiga.
Bagaimana urutan dapat diperkenalkan dalam teori insidensi? ada dua cara dalam mempelajari konsep dalam teori matematis; 1 untuk mendefinisikan konsep sehubungan dengan maksud dasar lainnya; 2. untuk menganggap konsep sebagai maksud dasar dan mengkarakteristikan konsep dengan postulat yang sesuai. Tampaknya sulit untuk mendefinisikan ide urutan sehubungan dengan titik, garis, bidang-jadi kita akan gunakan prosedur yang kedua.
Ada dua teori urutan yang terkenal yang disebut dengan teori precedence (yang lebih didahulukan) dan teori betwenness (ke-antaraan). Pada teori yang pertama, elemen suatu himpunan “diurutkan” dengan menspesifikasi relasi dua suku (atau biner) yang disebut precedence, misalnya “ke sebelah kiri dari” dalam himpunan titik pada garis, atau “lebih besar dari” untuk himpunan bilangan rasional. Dalam teori kedua, relasi tiga suku (atau ternary) yang disebut ke-antaraan dispesifikasikan dalam suatu himpunan, sebagai contoh,” ke-antaraan untuk titik dalam garis. Tentu saja dalam setiap teori, postulat yang sesuai dapat saja diasumsikan.
Download selengkapnya.
Hal ini jelas diperlukan sebagai studi posisi relativ titik pada garis, tetapi penting juga sebagai definisi dan studi banyak ide ‘nonlinier’ yang penting. Tanpa konsep urutan, kita tidak mampu mengklarifikasi ide tentang arah, pemisahan, dan interioritas-tanpa geometri, kita bahkan tidak mampu mendefinisikan segitiga.
Bagaimana urutan dapat diperkenalkan dalam teori insidensi? ada dua cara dalam mempelajari konsep dalam teori matematis; 1 untuk mendefinisikan konsep sehubungan dengan maksud dasar lainnya; 2. untuk menganggap konsep sebagai maksud dasar dan mengkarakteristikan konsep dengan postulat yang sesuai. Tampaknya sulit untuk mendefinisikan ide urutan sehubungan dengan titik, garis, bidang-jadi kita akan gunakan prosedur yang kedua.
Ada dua teori urutan yang terkenal yang disebut dengan teori precedence (yang lebih didahulukan) dan teori betwenness (ke-antaraan). Pada teori yang pertama, elemen suatu himpunan “diurutkan” dengan menspesifikasi relasi dua suku (atau biner) yang disebut precedence, misalnya “ke sebelah kiri dari” dalam himpunan titik pada garis, atau “lebih besar dari” untuk himpunan bilangan rasional. Dalam teori kedua, relasi tiga suku (atau ternary) yang disebut ke-antaraan dispesifikasikan dalam suatu himpunan, sebagai contoh,” ke-antaraan untuk titik dalam garis. Tentu saja dalam setiap teori, postulat yang sesuai dapat saja diasumsikan.
Download selengkapnya.
POSTULAT SEJAJAR EUCLID
Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontoversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya(sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180 derajat, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut.
Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern, dan juga perlakukan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar.
Kita mulai mendaftarkan sejumlah asumsi atau postulat untuk geometri bidang Euclid.
I. sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya.
II. Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka junlahnya akan sama
III. Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama
IV. Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya
V. Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya.
VI. Setiap sudut memiliki bisector
VII. Setiap segmen memiliki titik tengah
VIII. Dua titik hanya berada pada satu satunya garis
IX. Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan
X. Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui
XI. Semua sudut siku-siku sama besar.
Dari postulat-postulat ini, dapat dideduksi sejumlah teorema dasar. Diantaranya adalah:
1. Sudut bertolak bertolak belakang sama besar
2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)
3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki , dan konversinya.
4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut.
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
6. Pembentukan suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya.
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.
Download selengkapnya.
Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya(sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180 derajat, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut.
Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern, dan juga perlakukan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar.
Kita mulai mendaftarkan sejumlah asumsi atau postulat untuk geometri bidang Euclid.
I. sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya.
II. Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka junlahnya akan sama
III. Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama
IV. Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya
V. Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya.
VI. Setiap sudut memiliki bisector
VII. Setiap segmen memiliki titik tengah
VIII. Dua titik hanya berada pada satu satunya garis
IX. Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan
X. Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui
XI. Semua sudut siku-siku sama besar.
Dari postulat-postulat ini, dapat dideduksi sejumlah teorema dasar. Diantaranya adalah:
1. Sudut bertolak bertolak belakang sama besar
2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)
3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki , dan konversinya.
4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut.
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
6. Pembentukan suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya.
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.
Download selengkapnya.
Selasa, 24 Juni 2008
Geometri Riemann
Atas terpecahkan permasalahan postulat sejajar Euclid oleh Bolyai dan Lobachevsky, para ahli matematika distimulasi dengan hadirnya teori geometri non-Euclid. Teori yang paling terkenal diusulkan oleh Riemann di tahun 1854. Teori Riemann kontradiksi dengan postulat sejajar Euclid dengan mengasumsikan prinsip berikut ini:
Postulat sejajar Riemann : Tidak ada garis yang sejajar
Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Dalam teori pertama, sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. Dalam teori kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang. Teori ini disebut geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap dua. (Istilah “tunggal” dan “rangkap” mengindikasikan sifat perpotongan dua garis dalam geometri; dan Istilah “eliptik” digunakan dalam artian suatu klasifikasi yang didasarkan atas geometri projektif dimana geometri Euclid dan Lobachevskian disebut parabolic dan hiperbolik).
Download selengkapnya.
Postulat sejajar Riemann : Tidak ada garis yang sejajar
Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Dalam teori pertama, sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. Dalam teori kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang. Teori ini disebut geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap dua. (Istilah “tunggal” dan “rangkap” mengindikasikan sifat perpotongan dua garis dalam geometri; dan Istilah “eliptik” digunakan dalam artian suatu klasifikasi yang didasarkan atas geometri projektif dimana geometri Euclid dan Lobachevskian disebut parabolic dan hiperbolik).
Download selengkapnya.
Geometri Lobachevsky
Postulat Kesejajaran Lobachevskian :
Ada sedikitnya dua persamaan garis yang dapat ditentukan melalui titik yang diketahui dan tidak terletak pada garis
Teorema Nonmetrical
Teorema 1 :
Any line is contained wholly in the interior of some angle
(Sebarang garis dimuat secara keseluruhan didalam interior dari beberapa sudut)
Corollary :
There are infinitely many lines parallel to a given line through a given point not on the line
(Jika diberikan suatu garis, maka ada banyak garis yang sejajar tak hingga dengan memberikan suatu titik yang tidak pada garis tersebut)
Jumlah Sudut Suatu Segitiga didalam Geometri Lobachevskian
LEMMA 1.
Penjumlahan dua sudut suatu segitiga adalah kurang dari atau sama dengan sudut luarnya.
LEMMA 2.
Misal L suatu garis, titik P tidak berada di garis L, dan titik Q berada di garis L.
Misal diberikan garis PQ sebagai sisinya.
Kemudian di sana ada suatu titik R di L, pada sisi PQ yang diberikan,
Sedemikian hingga < PRQ adalah sudut kecil seperti yang kita lihat.
Teorema 2.
Berlaku pada segitiga dengan jumlah derajat sudut kurang dari 180°.
Teorema 3.
Jumlah sudut dari sudut segitiga tidak lebih dari 180°.
Corollary 1.
Jumlah sudutnya dari setiap yang bersisi empat tidak lebih dari 360°.
Corollary 2.
Tidak pasti ada empat persegipanjang.
Teorema 4 :
Two triangles are congruent if their corresponding angles are equal
(Dua segitiga kongruen, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama)
Download selengkapnya
Ada sedikitnya dua persamaan garis yang dapat ditentukan melalui titik yang diketahui dan tidak terletak pada garis
Teorema Nonmetrical
Teorema 1 :
Any line is contained wholly in the interior of some angle
(Sebarang garis dimuat secara keseluruhan didalam interior dari beberapa sudut)
Corollary :
There are infinitely many lines parallel to a given line through a given point not on the line
(Jika diberikan suatu garis, maka ada banyak garis yang sejajar tak hingga dengan memberikan suatu titik yang tidak pada garis tersebut)
Jumlah Sudut Suatu Segitiga didalam Geometri Lobachevskian
LEMMA 1.
Penjumlahan dua sudut suatu segitiga adalah kurang dari atau sama dengan sudut luarnya.
LEMMA 2.
Misal L suatu garis, titik P tidak berada di garis L, dan titik Q berada di garis L.
Misal diberikan garis PQ sebagai sisinya.
Kemudian di sana ada suatu titik R di L, pada sisi PQ yang diberikan,
Sedemikian hingga < PRQ adalah sudut kecil seperti yang kita lihat.
Teorema 2.
Berlaku pada segitiga dengan jumlah derajat sudut kurang dari 180°.
Teorema 3.
Jumlah sudut dari sudut segitiga tidak lebih dari 180°.
Corollary 1.
Jumlah sudutnya dari setiap yang bersisi empat tidak lebih dari 360°.
Corollary 2.
Tidak pasti ada empat persegipanjang.
Teorema 4 :
Two triangles are congruent if their corresponding angles are equal
(Dua segitiga kongruen, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama)
Download selengkapnya
Langganan:
Postingan (Atom)
