Sebuah tulisan tentang ketidakterbatasan dari arsip sejarah Matematika menyajikan masalah-masalah khusus. Salah satunya mempertimbangkan aspek-aspek philosofi maupun aspek keagamaan. Hal ini terutama berlaku pada masa Yunani kuno seperti yang dituliskan oleh Knorr. Dari saat orang-orang mulai berfikir tentang dunia di mana mereka tinggal, pertanyaan-pertanyaan mengenai ketidakterbatasan timbul.
Kita mulai menghitung ketidakterbatasan dengan fifth-century Eleatic abad ke-5 Zeno. Orang-orang Yunani awal telah berfikir bisakah sesuatu terus-menerus membagi benda menjadi kecil dan apakah sesuatu yang kecil tidak dapat dibagi lagi. Phytagoras telah membuktikan bahwa semua angka dan seluruh bidangnya diciptakan dari bilangan-bilangan (angka-angka asli terbatas). Lalu ada atomis yang mempercayai bahwa bahan-bahan disusun dari sebuah bilangan atau angka yang terbatas dari ketidakterbagian. Bagaimanapun paradoksnya Zeno menunjukkan keyakinan bahwa bahan secara terus-menerus dapat di bagi. Tentu paradoks ini timbul dari yang tidak terbatas. Ariestoteles mengkhawatirkan adanya ketidakterbatasan. Pembuktian Ariestoteles melawan ketidakterbatasan yang sebenarnya dan pada hal tersebut ia mempertimbangkan ketidakterbatasan. Idenya yang tidak dapat kita pahami tentang bilangan-bilangan asli sebagai sebuah keseluruhan.
Pada perang Babilonia memperkenalkan ide tentang kedudukan system bilangan yang untuk pertama kali memperbolehkan sebuah gambaran singkat bilangan tanpa limit yang menyertainya. Jika L adalah bilangan terbesar dan kita dapat menuliskan L+1 atau L^2, tetapi tetap terbatas. Pada kenyataannya apa yang Euclid buktikan apakah bilangan-bilangan utama kemungkinan besar adalah tidak terbatas.
Ariestoteles berfikir tentang keterbatasan dengan mengambil contoh dalam bidang yang berhubungan dengan ruang angkasa. Nicolas Cusa pada pertengahan abad ke-15 menjelaskan bahwa alam semesta adalah tidak terbatas dan bahwa bintang-bintang adalah matahari yang jauh. Pada abad ke-16 gereja katolik di Eropa mulai mencoba untuk meredam hal-hal yang menyimpang seperti itu. Giardano bukan seorang matematikawan atau ilmuwan, tetapi ia memperdebatkan dengan hebat kasus dari sebuah ketidakterbatasan alam semesta.
Galileo mempelajari persoalan dua lingkaran kosentris dengan pusat O dan mengusulkan penambahan sebuah angka tidak terbatas menjadi lebih kecil jaraknya untuk membuatnya sama dengan yang lebih besar.
Bagaimanapun kebanyakan angka-angka bentuknya sempurna. Galileo mengatakan hal ini hanya dengan maksud bahwa keseluruhan dari angka-angka adalah tidak terbatas dan bahwa bentuk angka-angka tidak terbatas, tidak ada dari bentuk-bentuk angka kurang dari keseluruhan angka-angka dan pada akhirnya sifat-sifat “sama”, “lebih dari”, “kurang” tidak dapat dipakai pada ketidakterbatasan tetapi hanya pada jumlah terbatas.
Cavalieri menulis geometric indivisibilibus kontivorum (1635) yang dia perkirakan garis sebagai perbandingan dari banyak batas dan luas dikenal dengan prinsip Cavalieri. Jika sebuah garis digerakkan parallel pada garis itu sendiri melewati dua daerah dan jika rasio dari panjang garis dengan setiap daerah selalu A : B lalu rasio daerahnya adalah A : B.
Roberval memperkenalkan metode-metode untuk membandingkan ukuran-ukuran ketidakterbagian, jadi walaupun mereka tidak memiliki besarnya sendiri salah satu dapat memberi definisi rasio dari besarnya mereka. Bagaimanapun ada perbedaan antara menggunakan metode yang benar dan menulis kondisi-kondisi yang benar-benar tepat pada saat hal itu dikerjakan . konsekuensinya paradoks dibangun dengan membiarkan beberapa metode dari ketidakterbagian menjadi ditolak.
Perguruan tinggi romawi menolak ketidakterbagian dan melarang pengajaran mereka di perguruan tinggi Jesuit pada tahun 1649. symbol ¥ (takterbatas) yang kita pergunakan untuk ketidakterbatasan sekarang ini, pertama kali digunakan oleh John Wallis yang menggunakannya pada De Sectionibus Conicis tahun 1655 dan juga pada Arithmatica Infinitorum tahun 1656.
Tiga tahun kemudian Fermat’s mengidentifikasikan sebuah sifat penting dari bilangan bulat positif yaitu bahwa bilangan tersebut tidak mengandung sebuah urutan yang menurun yang tidak terbatas, metode ini diperkenalkan tahun 1659. Fermat menggunakan metodenya untuk membuktikan bahwa ada penyelesaian bilangan bulat tidak positif untuk x^4 + y^4 = z^4.
Newton menolak ketidakterbagian yang mendukung dari perubahannya terus menerus yang merupakan suatu perubahan yang cepat dari suatu jumlah.
Immanuel Kant menjelaskan bahwa The critique of pure reason (1781) bahwa ketidakterbatasan sebenarnya tidak dapat bertahan karena hal itu tidak dapat dirasakan. Gauss pada sebuah suratnya untuk Schumacher tahun 1831 menjelaskan perlawanan ketidakterbatasan sebenarnya “ketidakterbatasan hanya sebuah facon de farler, arti sebenarnya adalah sebuah keterbatasan yang rasio khusus mendekatkan ketidakterdefinisian sementara yang lainnya dibiarkan untuk tumbuh tanpa keterbatasan”.
Fenstad, pada The Legacy of Egypt melihat pada ketidakterbatasan dan analisis yang tidak biasa. Dia jua menyelidiki penggunaannya pada model fenomena alam.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2004. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Rabu, 11 November 2009
Minggu, 01 November 2009
Mengkuadratkan Lingkaran
Permasalahan mengkuadratkan lingkaran seperti yang kita pikirkan saat ini berawal dari
Matematika Yunani dan tidak selalu dapat dimengerti seluruhnya. Masalahnya adalah,
pada lingkaran, membangun secara geometri kuadrat yang sama pada bidang lingkaran.
Metode yang menerangkan untuk membuat bangunan tersebut tidak begitu jelas,
sebenarnya jangkauan metode yang digunakan dalam geometri oleh orang-orang Yunani
diperluas melalui beberapa pengujian untuk memecahkan masalah ini dan masalah klasik
lainnya. selengkapnya...
Matematika Yunani dan tidak selalu dapat dimengerti seluruhnya. Masalahnya adalah,
pada lingkaran, membangun secara geometri kuadrat yang sama pada bidang lingkaran.
Metode yang menerangkan untuk membuat bangunan tersebut tidak begitu jelas,
sebenarnya jangkauan metode yang digunakan dalam geometri oleh orang-orang Yunani
diperluas melalui beberapa pengujian untuk memecahkan masalah ini dan masalah klasik
lainnya. selengkapnya...
Minggu, 18 Oktober 2009
RUANG LINEAR ABSTRAK
Geometri kartesius, diperkenalkan oleh Fermat dan Des Cartes sekitar tahun 1936, mempunyai pengaruh yang sangat besar dalam dunia Matematika terutama dalam mentransformasi metode aljabar ke geometri. Pada pertengahan abad 19 terjadi suatu ketidakpuasan dengan metode koordinat dan orang-orang mulai mencari metode langsung, seperti metode geometri sintetis yang mana menggunakan koordinat bebas.
Hal ini memungkinkan untuk menelusuri kembali permulaan dari konsep vector pada awal abad 19 dengan menggunakan karya Bolzano. Pada 1804, Bolzano mempublikasikan hasil kerjanya mengenai penemuan geometri elementary “Betrachtrungen Uber Einige Gegenstande der Elementar Geometrie”. Bolzano dalam bukunya menganggap bahwa titik, garis, dan bidang tidak didefinisikan sebagai elemen tetapi melainkan didefinisikan sebagai bentuk operasi. Hal ini merupakan langkah yang sangat penting dalam mengaksiomakan geometri dan merupakan langkah awal yang dibutuhkan dalam pengabstraksian konsep ruang linear.
Perpindahan dari geometri koordinat tersebut merupakan tujuan utama dari usaha Pencelet dan Chasles yang merupakan penemu geometri sintetik. Perkembangan dalam analisis ini bergerak bersamaan dari ruang objek konkrit, seperti ruang barisan, menuju ke ruang linear abstrak. Sebagai penggantinya untuk pendefinisian matrik, operator linear abstrak harus didefinisikan dalam ruang linear abstrak.
Pada 1827 Mobius mempublikasikan Der Barycentische Calcul yaitu buku geometri yang mempelajari transformasi dan conic. Keutamaan dari buku ini adalah pengenalan koordinat Barychentric. Buatlah segitiga ABC, jika a, b, c diletakkan di A, B, C secara berurutan dan titik P sebagai pusat gravitasi. Mobius menunjukkan bahwa setiap titik P dalam bidang tersebut ditentukan oleh koordinat homogen [a, b, c], ukuran berat yang dikehendaki diletakkan di A, B, C memberikan pusta gravitasi di titik P. hal yang terpenting di sini adalah Mobius dianggap sebagai pencetus awal kemunculan vector.
Pada 1837 Mobius menerbitkan buku statistic yang mana dengan jelas, ia menyatakan idenya pada pemecahan soal vector dalam 2 sumbu khusus.
Diantara jangka waktu diterbitkannya 2 hasil karya Mobius, Bellavitis menerbitkan karta geometrinya pada 1832 yang berisi mengenai vector berjumlah banyak. Objek utamanya adalah garis AB dan ia menganggap AB dan BA sebagai 2 objek yang jelas. Ia mendefinisikan 2 garis sebagai “equipollent”, jika mereka sama. Jadi dalam notasi modern, 2 garis dinyatakan equipollent jika mereka dapat menunjukkan vector yang sama. Bellavitis mendefinisikan jumlah 2 garis yang equipollent dan kalkulus equipollent ke dalam ruang vector.
Pada 1814 Argand menggambarkan bahwa bilangan komplek sebagai titik pada bidang di mana keduanya merupakan bilangan riil. Hamilton menggambarkan bilangan komplek sebagai ruang vector 2 dimensi pada bilangan riil. Walaupun ia tidak menggunakan bentuk abstrak secara umum. Ia mengirim hasil penemuannya dalam sebuah paper ke Irish Academy 1833. ia menghabiskan lebih dari 10 tahun untuk mendefinisikan perkalian bilangan riil dalam ruang vector tiga dimensi. Quaternion Hamilton, dipublikasikan pada 1834 sebagai contoh penting dari ruang vector 4 dimensi, khusunya penelitian Tait tentang quaternion yang dipublikasikan tahun1873, dimana terdapat persaingan antara metode vector dan metode quaternion.
Pada 1857 Cayley memperkenalkan aljabar matrik, dimana hal ini sangat membantu untuk mengubah system abstrak menjadi lebih umum dengan menambahkan tipe hokum structural yang berbeda. Pada 1858 Cayley mengumumkan bahwa quaternion dapat ditunjukkan dalam matrik.
Pada 1867 Laguerre menulis surat pada Hermite Sur Le Calcul Des Sistemes Lineares. Systemes lineaires-nya adalah tabel koefisien system persamaan linear yang ditunjukkan dengan huruf besar tunggal, dan Laguerte mendefinisikan penambahan, pembagian, dan perkalian dari system linear tersebut. Dalam karyanya Laguerte bertujuan untuk menggabungkan system aljabar seperti bilangan kompleks, quaternion Hamilton, dan gagasan yang diperkenalkan oleh Galois dan Cauchy.
Karya Laguerte dalam system linear ini diikuti oleh paper Carvalo pada 1891. dalam hal ini ia mendefinisikan operator pada fungsi vector dan melukiskan secara jelas perbedaan antara operator dan matriks.
Untuk mengetahui perbedaan antara operator dan matriks ini cukup dengan mengatakan bahwa jika seseorang merubah system koordinat, seseorang itu akan mendapatkan matriks yang berbeda untuk menunjukkan fungsi vector yang sama dan dengan operasi yang sama pula.
Ahli Matematika lainnya yang bergerak dalam bidang geometri tanpa koordinat adalag Grassmann. Hasil kerjanya memang berkualitas tinggi dan asli, tetapi koordinat Barycentris yang diperkenalkan oleh Mobius adalah motivasi utamanya. Kontribusi Grassmann, Die Ausdehnugshlere, dimunculkan dalam berbagai versi yang berbeda. Yang pertama pada 1844 tapi versi ini sulit dibaca dan jelas-jelas tidak berhubungan dengan matematikawan, jadi Grassmann berusaha memproduksi versi yang dapat dibaca yang muncul pada 1862. Clebch terinspirasi Grassmann dalam versi tertentu.
Grassmann belajar aljabar yang elemennya tidak dispesifikasi, begitu juga dengan kuantitas abstrak. Ia memperhitungkan system elemen yang ia artikan sebagai operasi formal terhadap penambahan, perkalian scalar dan perkalian. Ia mulai dengan elemen tak terdefinisi yang biasa disebut dengan “simple quantities” dan menghasilkan aturan penggunaan kuantitas yang lebih komplek secara khusus.
Tapi… lebih jauh, karena saya menyebut hal ini tidak hanya sekedar kuantitas melainkan kuantitas sederhana. Ada kuantitas lain yang mempunyai kuantitas gabungan pada diri mereka sendiri dan karakter yang mempunyai hubungan yang jelas antara satu sama lainnya seperti karakteristik kuantitas sederhana yang beda satu sama lainnya. Kuantitas ini terjadi melalui penambahan bentuk tinggi.
Hasil karyanya berisikan aturan-aturan yang terkenal dalam ruang vector, karena ia juga mempunyai definisi perkalian, strukturnya memenuhi sifat/ciri-ciri yang sekarang ini lebih dikenal dengan aljabar. Struktur yang tepat untuk sekarang ini dikenal dengan sebutan Aljabar Grassmann. Elemen himpunan linear bergantung dan tidak bergantung, jelas-jelas merupakan hasil karya Grassmann dalam dimensi (walaupun ia tidak menggunakan istilah itu). Hasil skalar juga muncul pada karya Grassmann di tahun 1844.
Pandangan Grassmann 1862 dalam Die Ausdehnungslehre mempunyai kata pengantar yang panjang dimana ia memberi ringkasan atas teorinya. Dalam kata pengantarnya ini ia juga membela pada metode formal yang mana mempunyai kejelasannya telah diuji oleh beberapa matematikawan. Grassmann pun dinyatakan bahwa ia adalah pencipta teori Axiomatis dan hal ini menunjukkan bahwa ia sangat hebat di jamannya.
Cauchy dan Saint Venant mempunyai beberapa klaim mengenai penemuan sistem yang sama terhadap Grassmann. Klaim Saint Venant cukup beralasan karena ia mempublikasikan karyanya 1845 yang mana ia mengalihkan garis dengan cara yang sama seperti Grassmann. Pada kenyataannya ketika Grassmann membaca paper Saint Venant, ia sadar bahwa Saint Venant tidak membaca hasil karyanya 1844 dan mengirim dua kopian yang sama pada Cauchy, meminta padanya untuk menyampaikan kopian pada Saint Venant.
Cauchy pada 1853 mempublikasikan Sur les clefs algerique di Computes Rendus yang menggambarkan metode simbol secara formal, metode ini serupa/mirip dengan metode Grassmann (tetapi tidak berdasarkan referensi Grassmann). Grassmann mengadukan pada akademik bahwa hasil karyanya diambil Cauchy. Dan pada 1854, komite mengadakan penyelidikan mengenai siapa yang lebih berhak.
Pertama-tama yang meneliti keutamaan hasil karya Grassmann adalah Hankel. Pada 1867 ia menulis paper mengenai Theori Der Complexen Zahlensisteme yang menyoroti sistem formal yang merupakan kombinasi antara simbol-simbol yang didefinisikan secara abstrak. Ia menyanjung Die Ausdehnungslehre-nya Grassmann yang telah memberikan pondasi yang kuat atas kerjanya.
Orang yang pertama kali memberikan definisi aksiomatis dalam ruang linear riil adalah Peeano dalam bukunya yang diterbitkan di Torino 1888. ia menyanjung Leibniz, karya Mobius tahun 1827, karya Grassmann 1844 dan Quaternions Hamilton yang telah menyediakan ide-ide yang dapat membimbingnya untuk mencetuskan kalkulus formal.
Buku Peeano pada tahun 1888, Calcolo Geometrico Secondo I’ Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preceduro dalle Operazionci Della Logica Dedettiva sangat menakjubkan. Buku ini memberikan operasi himpunan pada kalkulus dasar yang mengenalkan adanya notasi modern , , sebagai irisan, gabungan, dan anggota dari. Beberapa tahun yang lalu, hal ini telah ada tapi belum dapat diterima, dan kenyataan sekarang buku Peeano sepertinya mempunyai pengaruh pada tahun-tahun belakangan ini. Buku ini juga memuat pengenalan modern dalam Ruang Linear dan Aljabar Linear.
Dalam bab IX buku Peeano memberikan aksioma Ruang Linear. Ini sungguh sangat sulit untuk dipercaya bahwa Peeano menulis pada tahun 1888.
Sewajarnya hal ini ditulis pada tahun 1988, yang pertama adalah untuk persamaan elemen.
1. a = b jika dan hanya jika b = a dan b = c maka a = c
2. Jumlah 2 objek a dan b yang terdefinisi, seperti suatu objek didefinisikan dengan notasi a + b juga termasuk dalam sistem, memenuhi :
Jika a = b maka a + c = b + c, a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c dan persamaan lainnya adalah a + b + c.
3. Jika a adalah objek dan m adalah integer positif maka ma adalah jumlah dari m objek sebanyak a. Jika a = b maka ma = mb, m(a + b) = ma + mb, (m + n)a = ma + na, m(na) = mna, 1a = a.
Peeano menyatakan mengenai keberadaan dari nol dan menyatakan 0a = 0 dan a – b berarti a + (-b) dan hal ini sesuai dengan a – a = 0 dan 0 + a = a.
Peeano mendefinisikan sistem linear merupakan sistem objek yang memenuhi empat syaratnya. Lalu ia mendefinsikan objek bergantung dan objek tidak bergantung, kemudian ia mendefinisikan mengenai dimensi.
Definisi : Jumlah dimensi pada sistem linear adalah jumlah maksimal dari objek sistem linear independen.
Ia membuktikan bahwa Ruang dimensi terhingga mempunyai basis dan memberi contoh dari ruang linear dimensi tak terhingga. Peeano menganggap bahwa semua fungsi f(x) dengan variabel x, didefinisikan jumlah f1(x) dan f2(x) dan hasil dari f(x) oleh m bilangan riil. Ia mengatakan :
Jika seseorang menganggap hanya fungsi dengan pangkat n, lalu bentuk fungsi tersebut merupakan sistem linear dengan dimensi n + 1 maka semua fungsi dengan pangkat sembarang dalam bentuk sistem linear mempunyai dimensi yang terbatas.
Peeano mendefinisikan operator linear pada ruang linear, ditunjukkan dengan menggunakan koordinat satu untuk mendapatkan bentuk matrik. Ia mendefinisikan jumlah dan perkalian operator linear.
Pada 1890 Pincherle meneliti teori operator linear pada ruang vektor dalam dimensi tidak berhingga. Akan tetapi, ia bekerja tidak berdasarkan pada karya Peeano, ia lebih condong menggunakan teori operator abstrak dari Leibniz dan d’Alembert. Seperti karya lainnya yang meneliti pada bidang ini, karya tersebut hanya menghasilkan pengaruh yang kecil pada ruang vektor dengan dimensi tidak terhingga ini tidaklah dipelajari lagi sampai pada akhirnya Banach dan kelompoknya mengangkat topik ini tahun 1920-an.
Walalupun tidak pernah mencapai sampai level pengabstraksian seperti Peeano, Helbert dan muridnya Schmidt mengkaji fungsi ruang dimensi tahun 1904. Schmidt akhirnya dapat memperkenalkan bahasa geometri ke dalam teori ruang Helbert tahun 1908. dan pendekatan aksiomanya muncul pada Disertasi Banach’s tahun 1920.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Hal ini memungkinkan untuk menelusuri kembali permulaan dari konsep vector pada awal abad 19 dengan menggunakan karya Bolzano. Pada 1804, Bolzano mempublikasikan hasil kerjanya mengenai penemuan geometri elementary “Betrachtrungen Uber Einige Gegenstande der Elementar Geometrie”. Bolzano dalam bukunya menganggap bahwa titik, garis, dan bidang tidak didefinisikan sebagai elemen tetapi melainkan didefinisikan sebagai bentuk operasi. Hal ini merupakan langkah yang sangat penting dalam mengaksiomakan geometri dan merupakan langkah awal yang dibutuhkan dalam pengabstraksian konsep ruang linear.
Perpindahan dari geometri koordinat tersebut merupakan tujuan utama dari usaha Pencelet dan Chasles yang merupakan penemu geometri sintetik. Perkembangan dalam analisis ini bergerak bersamaan dari ruang objek konkrit, seperti ruang barisan, menuju ke ruang linear abstrak. Sebagai penggantinya untuk pendefinisian matrik, operator linear abstrak harus didefinisikan dalam ruang linear abstrak.
Pada 1827 Mobius mempublikasikan Der Barycentische Calcul yaitu buku geometri yang mempelajari transformasi dan conic. Keutamaan dari buku ini adalah pengenalan koordinat Barychentric. Buatlah segitiga ABC, jika a, b, c diletakkan di A, B, C secara berurutan dan titik P sebagai pusat gravitasi. Mobius menunjukkan bahwa setiap titik P dalam bidang tersebut ditentukan oleh koordinat homogen [a, b, c], ukuran berat yang dikehendaki diletakkan di A, B, C memberikan pusta gravitasi di titik P. hal yang terpenting di sini adalah Mobius dianggap sebagai pencetus awal kemunculan vector.
Pada 1837 Mobius menerbitkan buku statistic yang mana dengan jelas, ia menyatakan idenya pada pemecahan soal vector dalam 2 sumbu khusus.
Diantara jangka waktu diterbitkannya 2 hasil karya Mobius, Bellavitis menerbitkan karta geometrinya pada 1832 yang berisi mengenai vector berjumlah banyak. Objek utamanya adalah garis AB dan ia menganggap AB dan BA sebagai 2 objek yang jelas. Ia mendefinisikan 2 garis sebagai “equipollent”, jika mereka sama. Jadi dalam notasi modern, 2 garis dinyatakan equipollent jika mereka dapat menunjukkan vector yang sama. Bellavitis mendefinisikan jumlah 2 garis yang equipollent dan kalkulus equipollent ke dalam ruang vector.
Pada 1814 Argand menggambarkan bahwa bilangan komplek sebagai titik pada bidang di mana keduanya merupakan bilangan riil. Hamilton menggambarkan bilangan komplek sebagai ruang vector 2 dimensi pada bilangan riil. Walaupun ia tidak menggunakan bentuk abstrak secara umum. Ia mengirim hasil penemuannya dalam sebuah paper ke Irish Academy 1833. ia menghabiskan lebih dari 10 tahun untuk mendefinisikan perkalian bilangan riil dalam ruang vector tiga dimensi. Quaternion Hamilton, dipublikasikan pada 1834 sebagai contoh penting dari ruang vector 4 dimensi, khusunya penelitian Tait tentang quaternion yang dipublikasikan tahun1873, dimana terdapat persaingan antara metode vector dan metode quaternion.
Pada 1857 Cayley memperkenalkan aljabar matrik, dimana hal ini sangat membantu untuk mengubah system abstrak menjadi lebih umum dengan menambahkan tipe hokum structural yang berbeda. Pada 1858 Cayley mengumumkan bahwa quaternion dapat ditunjukkan dalam matrik.
Pada 1867 Laguerre menulis surat pada Hermite Sur Le Calcul Des Sistemes Lineares. Systemes lineaires-nya adalah tabel koefisien system persamaan linear yang ditunjukkan dengan huruf besar tunggal, dan Laguerte mendefinisikan penambahan, pembagian, dan perkalian dari system linear tersebut. Dalam karyanya Laguerte bertujuan untuk menggabungkan system aljabar seperti bilangan kompleks, quaternion Hamilton, dan gagasan yang diperkenalkan oleh Galois dan Cauchy.
Karya Laguerte dalam system linear ini diikuti oleh paper Carvalo pada 1891. dalam hal ini ia mendefinisikan operator pada fungsi vector dan melukiskan secara jelas perbedaan antara operator dan matriks.
Untuk mengetahui perbedaan antara operator dan matriks ini cukup dengan mengatakan bahwa jika seseorang merubah system koordinat, seseorang itu akan mendapatkan matriks yang berbeda untuk menunjukkan fungsi vector yang sama dan dengan operasi yang sama pula.
Ahli Matematika lainnya yang bergerak dalam bidang geometri tanpa koordinat adalag Grassmann. Hasil kerjanya memang berkualitas tinggi dan asli, tetapi koordinat Barycentris yang diperkenalkan oleh Mobius adalah motivasi utamanya. Kontribusi Grassmann, Die Ausdehnugshlere, dimunculkan dalam berbagai versi yang berbeda. Yang pertama pada 1844 tapi versi ini sulit dibaca dan jelas-jelas tidak berhubungan dengan matematikawan, jadi Grassmann berusaha memproduksi versi yang dapat dibaca yang muncul pada 1862. Clebch terinspirasi Grassmann dalam versi tertentu.
Grassmann belajar aljabar yang elemennya tidak dispesifikasi, begitu juga dengan kuantitas abstrak. Ia memperhitungkan system elemen yang ia artikan sebagai operasi formal terhadap penambahan, perkalian scalar dan perkalian. Ia mulai dengan elemen tak terdefinisi yang biasa disebut dengan “simple quantities” dan menghasilkan aturan penggunaan kuantitas yang lebih komplek secara khusus.
Tapi… lebih jauh, karena saya menyebut hal ini tidak hanya sekedar kuantitas melainkan kuantitas sederhana. Ada kuantitas lain yang mempunyai kuantitas gabungan pada diri mereka sendiri dan karakter yang mempunyai hubungan yang jelas antara satu sama lainnya seperti karakteristik kuantitas sederhana yang beda satu sama lainnya. Kuantitas ini terjadi melalui penambahan bentuk tinggi.
Hasil karyanya berisikan aturan-aturan yang terkenal dalam ruang vector, karena ia juga mempunyai definisi perkalian, strukturnya memenuhi sifat/ciri-ciri yang sekarang ini lebih dikenal dengan aljabar. Struktur yang tepat untuk sekarang ini dikenal dengan sebutan Aljabar Grassmann. Elemen himpunan linear bergantung dan tidak bergantung, jelas-jelas merupakan hasil karya Grassmann dalam dimensi (walaupun ia tidak menggunakan istilah itu). Hasil skalar juga muncul pada karya Grassmann di tahun 1844.
Pandangan Grassmann 1862 dalam Die Ausdehnungslehre mempunyai kata pengantar yang panjang dimana ia memberi ringkasan atas teorinya. Dalam kata pengantarnya ini ia juga membela pada metode formal yang mana mempunyai kejelasannya telah diuji oleh beberapa matematikawan. Grassmann pun dinyatakan bahwa ia adalah pencipta teori Axiomatis dan hal ini menunjukkan bahwa ia sangat hebat di jamannya.
Cauchy dan Saint Venant mempunyai beberapa klaim mengenai penemuan sistem yang sama terhadap Grassmann. Klaim Saint Venant cukup beralasan karena ia mempublikasikan karyanya 1845 yang mana ia mengalihkan garis dengan cara yang sama seperti Grassmann. Pada kenyataannya ketika Grassmann membaca paper Saint Venant, ia sadar bahwa Saint Venant tidak membaca hasil karyanya 1844 dan mengirim dua kopian yang sama pada Cauchy, meminta padanya untuk menyampaikan kopian pada Saint Venant.
Cauchy pada 1853 mempublikasikan Sur les clefs algerique di Computes Rendus yang menggambarkan metode simbol secara formal, metode ini serupa/mirip dengan metode Grassmann (tetapi tidak berdasarkan referensi Grassmann). Grassmann mengadukan pada akademik bahwa hasil karyanya diambil Cauchy. Dan pada 1854, komite mengadakan penyelidikan mengenai siapa yang lebih berhak.
Pertama-tama yang meneliti keutamaan hasil karya Grassmann adalah Hankel. Pada 1867 ia menulis paper mengenai Theori Der Complexen Zahlensisteme yang menyoroti sistem formal yang merupakan kombinasi antara simbol-simbol yang didefinisikan secara abstrak. Ia menyanjung Die Ausdehnungslehre-nya Grassmann yang telah memberikan pondasi yang kuat atas kerjanya.
Orang yang pertama kali memberikan definisi aksiomatis dalam ruang linear riil adalah Peeano dalam bukunya yang diterbitkan di Torino 1888. ia menyanjung Leibniz, karya Mobius tahun 1827, karya Grassmann 1844 dan Quaternions Hamilton yang telah menyediakan ide-ide yang dapat membimbingnya untuk mencetuskan kalkulus formal.
Buku Peeano pada tahun 1888, Calcolo Geometrico Secondo I’ Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preceduro dalle Operazionci Della Logica Dedettiva sangat menakjubkan. Buku ini memberikan operasi himpunan pada kalkulus dasar yang mengenalkan adanya notasi modern , , sebagai irisan, gabungan, dan anggota dari. Beberapa tahun yang lalu, hal ini telah ada tapi belum dapat diterima, dan kenyataan sekarang buku Peeano sepertinya mempunyai pengaruh pada tahun-tahun belakangan ini. Buku ini juga memuat pengenalan modern dalam Ruang Linear dan Aljabar Linear.
Dalam bab IX buku Peeano memberikan aksioma Ruang Linear. Ini sungguh sangat sulit untuk dipercaya bahwa Peeano menulis pada tahun 1888.
Sewajarnya hal ini ditulis pada tahun 1988, yang pertama adalah untuk persamaan elemen.
1. a = b jika dan hanya jika b = a dan b = c maka a = c
2. Jumlah 2 objek a dan b yang terdefinisi, seperti suatu objek didefinisikan dengan notasi a + b juga termasuk dalam sistem, memenuhi :
Jika a = b maka a + c = b + c, a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c dan persamaan lainnya adalah a + b + c.
3. Jika a adalah objek dan m adalah integer positif maka ma adalah jumlah dari m objek sebanyak a. Jika a = b maka ma = mb, m(a + b) = ma + mb, (m + n)a = ma + na, m(na) = mna, 1a = a.
Peeano menyatakan mengenai keberadaan dari nol dan menyatakan 0a = 0 dan a – b berarti a + (-b) dan hal ini sesuai dengan a – a = 0 dan 0 + a = a.
Peeano mendefinisikan sistem linear merupakan sistem objek yang memenuhi empat syaratnya. Lalu ia mendefinsikan objek bergantung dan objek tidak bergantung, kemudian ia mendefinisikan mengenai dimensi.
Definisi : Jumlah dimensi pada sistem linear adalah jumlah maksimal dari objek sistem linear independen.
Ia membuktikan bahwa Ruang dimensi terhingga mempunyai basis dan memberi contoh dari ruang linear dimensi tak terhingga. Peeano menganggap bahwa semua fungsi f(x) dengan variabel x, didefinisikan jumlah f1(x) dan f2(x) dan hasil dari f(x) oleh m bilangan riil. Ia mengatakan :
Jika seseorang menganggap hanya fungsi dengan pangkat n, lalu bentuk fungsi tersebut merupakan sistem linear dengan dimensi n + 1 maka semua fungsi dengan pangkat sembarang dalam bentuk sistem linear mempunyai dimensi yang terbatas.
Peeano mendefinisikan operator linear pada ruang linear, ditunjukkan dengan menggunakan koordinat satu untuk mendapatkan bentuk matrik. Ia mendefinisikan jumlah dan perkalian operator linear.
Pada 1890 Pincherle meneliti teori operator linear pada ruang vektor dalam dimensi tidak berhingga. Akan tetapi, ia bekerja tidak berdasarkan pada karya Peeano, ia lebih condong menggunakan teori operator abstrak dari Leibniz dan d’Alembert. Seperti karya lainnya yang meneliti pada bidang ini, karya tersebut hanya menghasilkan pengaruh yang kecil pada ruang vektor dengan dimensi tidak terhingga ini tidaklah dipelajari lagi sampai pada akhirnya Banach dan kelompoknya mengangkat topik ini tahun 1920-an.
Walalupun tidak pernah mencapai sampai level pengabstraksian seperti Peeano, Helbert dan muridnya Schmidt mengkaji fungsi ruang dimensi tahun 1904. Schmidt akhirnya dapat memperkenalkan bahasa geometri ke dalam teori ruang Helbert tahun 1908. dan pendekatan aksiomanya muncul pada Disertasi Banach’s tahun 1920.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Sejarah Nol
Nol mempunyai dua fungsi yang sama-sama penting tetapi berbeda dalam beberapa hal. Fungsi pertama ialah tempat yang kosong mengindikasikan pada system angka nilai posisi kita. Oleh karena itu, pada angka 2106 nol digunakan agar posisi 2 dan 1 benar. Jelasnya 216 berarti sesuatu yang berbeda. Fungsi kedua dari nol adalah angka itu sendiri pada bentuk yang kita gunakan sebagai 0. perbedaan yang ada pada dua fungsi tersebut adalah pada penamaan konsep, system penulisan, dan namanya.
Kita mungkin berpikir bahwa system nomor tempat yang memunculkan wujud 0 sebagai bentuk kosong adalah gagasan penting, namun bangsa Babylon mempunyai system nomor tempat tentang hal ini selama lebih dari 1000 tahun. Hal ini dapat dibuktikan berdasarkan teks asli yang selamat dari era Matematika bangsa Babylon. Bangsa Babylon menulis pada papan yang terbuat dari tanah liat. Banyak papan yang selamat pada tahun 1700 SM dan dapat kit abaca teks aslinya. Tentu saja ada system penulisan yang berbeda dengan system kita (tidak berbasis 10 tetapi 60) tetapi untuk menerjemahkan pada system penulisan kita tidak begitu berbeda antara 2106 dan 216 (konteksnya harus dapat memperlihatkan apa yang diharapkan). Tidak sampai, sekitar, tahun 400 SM bangsa Babylon menaruh dua perubahan symbol ditempat kita menaruh nol untuk mengindikasikan yang berarti, 216 atau 21”6.
Sebuah papan yang diperkirakan dibuat sekitar tahun 700 SM menggunakan tiga hook (berbentuk bengkokan) untuk menandai tempat yang kosong. Hal itu adalah ciri yang biasa untuk menandai bagian yang kosong. Hal ini membuktikan bahwa tidak pernah terjadi pada akhir digit tetapi selalu antara dua digit. Jadi walalupun kita menemukan 21”6, kita tidak pernah menemukan 216”.
Bangsa Yunani juga berpendapat bahwa nol sebagai penanda tempat yang kosong. Akan tetapi, bangsa Yunani tidak mengadopsi sistem posisi angka bangsa Babylon. Karena matematika Yunani berdasar pada geometri. Dengan kata lain matematika Yunani tidak perlu menamakan angka mereka. Angka yang diberi nama hanya digunakan pada perdagangan, bukan matematika, sebab itu tidak perlu sistem penulisan yang baik.
Ada pengecualian pada apa yang telah diungkapkan di atas. Pengecualiannya terdapat pada ahli matematika yang bergerak dalam bidang perekaman data astronomi. Disini dapat ditemukan penggunaan pertama suatu simbol yang kita kenal dengan nol, astronom Yunani mulai menggunakan simbol O. Ada beberapa teori muncul tentang mengapa simbol ini digunakan. Beberapa sejarahwan berpendapat bahwa simbol tersebut adalah Omicron, huruf pertama dalam aksara Yunani tidak ada yang dinamakan ”ouden”. Neugebauer menentang penjelasan tersebut karena bangsa Yunani menggunakan omicron sebagai angka. Penjelasan lain termasuk fakta bahwa hal ini mewakili ”obol”, sebuah koin yang hampir tak berharga, dan ini muncul pada saat logam kecil digunakan untuk menghitung di papan pasir. Yang diinginkan ialah ketika uang logam dipindah untuk meninggalkan kolom yang kosong, ia meninggalkan tekanan pada pasir yang berbentuk seperti O.
Sekitar 650 M penggunaan Nol sebagai angka sudah masuk pada matematika India. Bangsa India juga menggunakan sistem tempat nilai dan nol untuk menandakan tempat yang kosong. Bahkan ada buktinya penyangga tempat yang kosong pada posisi angka dari awal 200 M di India tetapi beberapa sejarahwan menyangkal hal tersebut karena dianggap tidak asli.
Sekitar tahun 500 M, Aryabhata merancang sistem angka yang belum terdapat angka nol. Ia menggunakan kata ”kha” untuk posisi dan selanjutnya digunakan dengan untuk nol. Ada bukti yang menunjukkan bahwa titik digunakan pada awal manuskrip India untuk menandakan tempat yang kosong pada sistem penulisan. Cukup menarik ketika dokumen yang sama kadang-kadang menggunakan titik untuk menandakan hal yang tidak diketahui yang biasanya kita gunakan x. Belakangan matematika India mensahkan nol pada posisi angka namun belum ada simbol yang mewakilinya.
Sekarang dibahas tentang pemutusan nol sebagai angka. Dari zaman dahulu angka adalah kata yang mewakili koleksi pada objek. Pastinya gagasan tentang angka menjadi semakin abstrak dan abstraksi ini memungkinkan untuk kemunculan nol dan angka negatif yang tidak ada pada koleksi sifat objek. Tentu saja masalah yang timbul ketika seseorang mencoba untuk mempertimbangkan nol dan negatif sebagai angka adalah bagaimana bergabung dalam berhubungan pada operasi aritmatik, substraksi tambahan, multiplikasi dan divisi.
Brahmagupta mencoba memberikan aturan pada aritmatika dengan melibatkan angka nol dan negatif pada abad ke-7. ia menjelaskan bahwa menentukan angka dan jika kamu mensubstrasikannya sendiri maka kamu mendapat nol. Ia memberikan peraturan tambahan yang berhubungan dengan nol, sebagai berikut :
”The sum of zero and a negative number is negative, the sum of a positive number and zero is positive, the sum of zero and zero is zero.”
Substraksi terlihat lebih keras :
“A negative number subtracted from zero is positive, a positive number subtracted from zero is negative, zero subtracted from a negative number is negative, zero subtracted from positive number is positive, zero subtracted from zero is zero.”
Sebenarnya, Brahmagupta berkata sangat sedikit ketika ia mengemukakan bahwa n dibagi nol adalah n/0. ia salah ketika ia mengklaim bahwa nol dibagi nol adalah nol. Akan tetapi, adalah suatu percobaan yang jenius dari orang pertama yang kita tahu mencoba untuk mengembangkan aritmatika pada angak negative dan nol.
Pada 830 Mahavira menulis Ganita Sara Samgraha yang dibuat untuk memperbaharui buku Bramagupta. Ia menyatakan bahwa :
“... a number multiplied by zero is zero, and a number remain the same when zero is substracted from it.”
Bagaimanapun juga ia mencoba untuk memperbaiki pernyataan Bramagupta tentang pembagian nol yang terlihat banyak membuat kesalahan, ia menulis :
“A number remains unchanged when divided by zero.”
Bhaskara menulis lebih dari 500 tahun setelah Brahmagupta. Ia menulis :
“A quantity devided by zero becomes a fraction the denominator of which is zero. This fraction is termed an infinite quantity. In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted; as no change takes place in infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of being are absorbed or put forth.”
Maka Bhaskara mencoba untuk memecahkan masalah dengan menulis n/0 = tak hingga. Dilihat pertama kali mungkin kita terbujuk untuk percaya bahwa Bhaskara benar, tetapi tentu saja dia tidak benar. Apabila benar bahwa waktu 0 adalah harus sejajar dengan semua angka n, maka semua angka adalah sejajar. Matematika India tidak menyimpulkan pada hal pembenaran bahwa sesuatu tidak dapat dibagi dengan nol. Akan tetapi, Bhaskara juga mempunyai pernyataan yang benar seperti 0^2 = 0 dan 0 = 0.
Bangsa Maya yang hidup di Amerika Tengah, yang sekarang dikenal Meksiko Selatan, Guatemala, dan Utara Belize. Pada tahun 665, mereka menggunakan system angka nilai-tempat dengan nilai dasar 20 dengan menggunakan symbol nol.
Suatu kerja yang jenius dari matematikawan India dikirimkan ke matematikawan Islamis dan Arabis jauh ke barat. Inilah awal bagi Al-Khawarizmi yang menulis Al’Khawarazimi on the Hindu Art of Reckoning yang menggambarkan system angka place-value dengan nilai dasar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. hasil inilah yang digunakan oleh Irak dimana nol dianggap sebagai awal dari system penulisan. Ibn Ezra, pada abad 12 menulis tiga buku yang membahas secara mendalam tentang angka yang membantu symbol bangsa India dan gagasan bilangan pecahan decimal menjadi suatu perhatian bagi para pelajar Eropa. The book of the number menggambarkan system decimal untuk bilangan bulat yang system place-value-nya dari kiri ke kanan. Pada hal ini, Ibn Ezra menggunakan nol yang ia sebut galgal (berarti roda atau lingkaran). Pada akhir abad ke-12, Al-Samawal menulis :
”If we substract a positive number from zero the same negative number remains… if we substract a negative number from zero the same positive number remains.”
Gagasan orang India menyebar dari utara ke Cina seperti Barat ke Negara Islam. Pada tahun 1274, matematikawan Cina Chi’in Chiu-shao menulis Mathematical tratise in nine section yang menggunakan simbol 0 untuk nol. Selanjutnya, di tahun 1303, Chu Shih-chieh menulis cermin batu permata hijau dari empat elemen yang menggunakan simbol 0 untuk nol.
Tentu saja ada masalah yang ditimbulkan oleh nol. Baru saja orang merayakan millenium baru pada 1 Januari 2000. tentu saja mereka merayakan setelah melewati 1999 tahun sejak kalender dibuat walaupun tidak ada tahun nol. Walaupun seseorang dapat memahami kesalahan tersebut, sangat mengejutkan bahwa banyak orang yang tidak dapat mengerti mengapa millenium ketiga dan abad 21 dimulai pada 1 Januari 2001. nol masih menyisakan masalah.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Kita mungkin berpikir bahwa system nomor tempat yang memunculkan wujud 0 sebagai bentuk kosong adalah gagasan penting, namun bangsa Babylon mempunyai system nomor tempat tentang hal ini selama lebih dari 1000 tahun. Hal ini dapat dibuktikan berdasarkan teks asli yang selamat dari era Matematika bangsa Babylon. Bangsa Babylon menulis pada papan yang terbuat dari tanah liat. Banyak papan yang selamat pada tahun 1700 SM dan dapat kit abaca teks aslinya. Tentu saja ada system penulisan yang berbeda dengan system kita (tidak berbasis 10 tetapi 60) tetapi untuk menerjemahkan pada system penulisan kita tidak begitu berbeda antara 2106 dan 216 (konteksnya harus dapat memperlihatkan apa yang diharapkan). Tidak sampai, sekitar, tahun 400 SM bangsa Babylon menaruh dua perubahan symbol ditempat kita menaruh nol untuk mengindikasikan yang berarti, 216 atau 21”6.
Sebuah papan yang diperkirakan dibuat sekitar tahun 700 SM menggunakan tiga hook (berbentuk bengkokan) untuk menandai tempat yang kosong. Hal itu adalah ciri yang biasa untuk menandai bagian yang kosong. Hal ini membuktikan bahwa tidak pernah terjadi pada akhir digit tetapi selalu antara dua digit. Jadi walalupun kita menemukan 21”6, kita tidak pernah menemukan 216”.
Bangsa Yunani juga berpendapat bahwa nol sebagai penanda tempat yang kosong. Akan tetapi, bangsa Yunani tidak mengadopsi sistem posisi angka bangsa Babylon. Karena matematika Yunani berdasar pada geometri. Dengan kata lain matematika Yunani tidak perlu menamakan angka mereka. Angka yang diberi nama hanya digunakan pada perdagangan, bukan matematika, sebab itu tidak perlu sistem penulisan yang baik.
Ada pengecualian pada apa yang telah diungkapkan di atas. Pengecualiannya terdapat pada ahli matematika yang bergerak dalam bidang perekaman data astronomi. Disini dapat ditemukan penggunaan pertama suatu simbol yang kita kenal dengan nol, astronom Yunani mulai menggunakan simbol O. Ada beberapa teori muncul tentang mengapa simbol ini digunakan. Beberapa sejarahwan berpendapat bahwa simbol tersebut adalah Omicron, huruf pertama dalam aksara Yunani tidak ada yang dinamakan ”ouden”. Neugebauer menentang penjelasan tersebut karena bangsa Yunani menggunakan omicron sebagai angka. Penjelasan lain termasuk fakta bahwa hal ini mewakili ”obol”, sebuah koin yang hampir tak berharga, dan ini muncul pada saat logam kecil digunakan untuk menghitung di papan pasir. Yang diinginkan ialah ketika uang logam dipindah untuk meninggalkan kolom yang kosong, ia meninggalkan tekanan pada pasir yang berbentuk seperti O.
Sekitar 650 M penggunaan Nol sebagai angka sudah masuk pada matematika India. Bangsa India juga menggunakan sistem tempat nilai dan nol untuk menandakan tempat yang kosong. Bahkan ada buktinya penyangga tempat yang kosong pada posisi angka dari awal 200 M di India tetapi beberapa sejarahwan menyangkal hal tersebut karena dianggap tidak asli.
Sekitar tahun 500 M, Aryabhata merancang sistem angka yang belum terdapat angka nol. Ia menggunakan kata ”kha” untuk posisi dan selanjutnya digunakan dengan untuk nol. Ada bukti yang menunjukkan bahwa titik digunakan pada awal manuskrip India untuk menandakan tempat yang kosong pada sistem penulisan. Cukup menarik ketika dokumen yang sama kadang-kadang menggunakan titik untuk menandakan hal yang tidak diketahui yang biasanya kita gunakan x. Belakangan matematika India mensahkan nol pada posisi angka namun belum ada simbol yang mewakilinya.
Sekarang dibahas tentang pemutusan nol sebagai angka. Dari zaman dahulu angka adalah kata yang mewakili koleksi pada objek. Pastinya gagasan tentang angka menjadi semakin abstrak dan abstraksi ini memungkinkan untuk kemunculan nol dan angka negatif yang tidak ada pada koleksi sifat objek. Tentu saja masalah yang timbul ketika seseorang mencoba untuk mempertimbangkan nol dan negatif sebagai angka adalah bagaimana bergabung dalam berhubungan pada operasi aritmatik, substraksi tambahan, multiplikasi dan divisi.
Brahmagupta mencoba memberikan aturan pada aritmatika dengan melibatkan angka nol dan negatif pada abad ke-7. ia menjelaskan bahwa menentukan angka dan jika kamu mensubstrasikannya sendiri maka kamu mendapat nol. Ia memberikan peraturan tambahan yang berhubungan dengan nol, sebagai berikut :
”The sum of zero and a negative number is negative, the sum of a positive number and zero is positive, the sum of zero and zero is zero.”
Substraksi terlihat lebih keras :
“A negative number subtracted from zero is positive, a positive number subtracted from zero is negative, zero subtracted from a negative number is negative, zero subtracted from positive number is positive, zero subtracted from zero is zero.”
Sebenarnya, Brahmagupta berkata sangat sedikit ketika ia mengemukakan bahwa n dibagi nol adalah n/0. ia salah ketika ia mengklaim bahwa nol dibagi nol adalah nol. Akan tetapi, adalah suatu percobaan yang jenius dari orang pertama yang kita tahu mencoba untuk mengembangkan aritmatika pada angak negative dan nol.
Pada 830 Mahavira menulis Ganita Sara Samgraha yang dibuat untuk memperbaharui buku Bramagupta. Ia menyatakan bahwa :
“... a number multiplied by zero is zero, and a number remain the same when zero is substracted from it.”
Bagaimanapun juga ia mencoba untuk memperbaiki pernyataan Bramagupta tentang pembagian nol yang terlihat banyak membuat kesalahan, ia menulis :
“A number remains unchanged when divided by zero.”
Bhaskara menulis lebih dari 500 tahun setelah Brahmagupta. Ia menulis :
“A quantity devided by zero becomes a fraction the denominator of which is zero. This fraction is termed an infinite quantity. In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted; as no change takes place in infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of being are absorbed or put forth.”
Maka Bhaskara mencoba untuk memecahkan masalah dengan menulis n/0 = tak hingga. Dilihat pertama kali mungkin kita terbujuk untuk percaya bahwa Bhaskara benar, tetapi tentu saja dia tidak benar. Apabila benar bahwa waktu 0 adalah harus sejajar dengan semua angka n, maka semua angka adalah sejajar. Matematika India tidak menyimpulkan pada hal pembenaran bahwa sesuatu tidak dapat dibagi dengan nol. Akan tetapi, Bhaskara juga mempunyai pernyataan yang benar seperti 0^2 = 0 dan 0 = 0.
Bangsa Maya yang hidup di Amerika Tengah, yang sekarang dikenal Meksiko Selatan, Guatemala, dan Utara Belize. Pada tahun 665, mereka menggunakan system angka nilai-tempat dengan nilai dasar 20 dengan menggunakan symbol nol.
Suatu kerja yang jenius dari matematikawan India dikirimkan ke matematikawan Islamis dan Arabis jauh ke barat. Inilah awal bagi Al-Khawarizmi yang menulis Al’Khawarazimi on the Hindu Art of Reckoning yang menggambarkan system angka place-value dengan nilai dasar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. hasil inilah yang digunakan oleh Irak dimana nol dianggap sebagai awal dari system penulisan. Ibn Ezra, pada abad 12 menulis tiga buku yang membahas secara mendalam tentang angka yang membantu symbol bangsa India dan gagasan bilangan pecahan decimal menjadi suatu perhatian bagi para pelajar Eropa. The book of the number menggambarkan system decimal untuk bilangan bulat yang system place-value-nya dari kiri ke kanan. Pada hal ini, Ibn Ezra menggunakan nol yang ia sebut galgal (berarti roda atau lingkaran). Pada akhir abad ke-12, Al-Samawal menulis :
”If we substract a positive number from zero the same negative number remains… if we substract a negative number from zero the same positive number remains.”
Gagasan orang India menyebar dari utara ke Cina seperti Barat ke Negara Islam. Pada tahun 1274, matematikawan Cina Chi’in Chiu-shao menulis Mathematical tratise in nine section yang menggunakan simbol 0 untuk nol. Selanjutnya, di tahun 1303, Chu Shih-chieh menulis cermin batu permata hijau dari empat elemen yang menggunakan simbol 0 untuk nol.
Tentu saja ada masalah yang ditimbulkan oleh nol. Baru saja orang merayakan millenium baru pada 1 Januari 2000. tentu saja mereka merayakan setelah melewati 1999 tahun sejak kalender dibuat walaupun tidak ada tahun nol. Walaupun seseorang dapat memahami kesalahan tersebut, sangat mengejutkan bahwa banyak orang yang tidak dapat mengerti mengapa millenium ketiga dan abad 21 dimulai pada 1 Januari 2001. nol masih menyisakan masalah.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Senin, 12 Oktober 2009
Geometri : Teorema Empat Warna
Empat perkiraan warna, diperkirakan ditemukan oleh Francis Guthrie. Dia adalah mahasiswa di Universitas
De Morgan tak dapat menjawabnya, pada 23 Oktober 1852, hari yang sama dengan datangnya pertanyaan itu, dia menulis ke Hamilton di Dublin. De Morgan menulis :
“Hari ini seorang muridku menanyakan padaku untuk memberikan padanya tentang sebuah alasan yang pada kenyataannya saya tidak tahu - belum tahu. Dia mengatakan bahwa jika sebuah gambar terbagi dan kompartemen berbedanya diberi warna – 4 warna, tidak lebih – masalah selanjutnya adalah pada 4 warna tersebut. Percobaan untuk menemukan yang ke
“Saya tidak bisa menjawab pertanyaanmu tentang quaternion warna dengan cepat.”
Sebelum melanjutkan pada sejarah dari 4 perkiraan warna, kita akan membahas tentang Francis Guthrie. Setelah belajar menjadi pengacara, dia pergi ke Afrika Selatan pada tahun 1861 sebagai Profesor Matematika. Ia menulis beberapa buku Matematika dan menjadi tertarik di bidang botani.
De Morgan terus bertanya pada setiap orang untuk dapat menemukan solusi pada masalah Guthrie’s dan beberapa matematikawan mencoba menemukannya. Charles Peirce di
Pada 17 Juli 1879, Alfred Bray Kempe mengumumkan bahwa dia telah membuktikan 4 perkiraan warna. Kempe adalah seorang pengacara di
Kempe mengemukakan sebuah argument yang dikenal sebagai methode of Kempe chains. Jika kita punya peta yang mana setiap daerah diwarnai merah, hijau, biru, atau kuning kecuali satu, anggaplah X. jika daerah X tidak dikelilingi oleh daerah dengan 4 warna tersebut maka ada warna yang disisakan untuk X. oleh karena itu anggaplah daerah 4 warna tersebut mengelilingi X. jika X dikelilingi A, B, C, D dengan warna merah, kuning, hijau, dan biru maka ada dua hal yang harus dibahas.
i. tidak ada rantai antara daerah yang berdekatan dari A ke C dengan warna merah dan hijau.
ii. ada rantai antara daerah yang berdekatan dari A ke C dengan warna merah dan hijau.
Jika berbentuk (i), maka tidak ada masalah. Ganti A ke hijau, lalu ubah warna daerah dalam rantai merah atau hijau untuk mengikuti A. Karena C tidak dalam rantai, maka C tetap hijau dan sekarang tidak ada daerah merah yang berdekatan dengan X, warna X adalah merah.
Jika berbentuk (ii), maka tidak mungkin ada daerah yang berdekatan dengan rantai kuning atau biru dari B ke D. [hal itu tidak dapat melintasi daerah rantai merah atau hijau]. Oleh karena (i) ada pada B dan D kita rubah warnanya seperti di atas.
Kempe menerima pujian besar karena karyanya itu. Dia terpilih anggota dari The Real Society dan dianggap sebagai harta karun selama beberapa tahun.
Teorema 4 warna kembali menjadi 4 perkiraan warna pada tahun 1890. Percy John Heawood, seorang Dosen pada Durhan England, menerbitkan buku berjudul Map Colouring Theorem, di dalamnya ia menyatakan :
”Lebih ke merusak daripada membangun, dengan ini akan memperlihatkan kekurangan dari bukti yang ada pada saat ini”.
Walaupun Heawood menunjukkan bahwa bukti Kempe salah, dia membuktikan bahwa setiap peta dapat diwarnai dengan 5 warna pada sebuah kertas. Kempe melaporkan kesalahannya sendiri pada komunitas matematika London dan berkata dia tidak dapat memperbaiki kesalahan pada buktinya. Pada tahun 1896 De Lavalle Poussin memfokuskan kesalahan Kempe.
Heawood sepanjang hidupnya bekerja pada pewarnaan peta. Setelah bekerja selama 60 tahun, dia sukses meneliti warna diperlukan untuk peta pada permukaan yang berbeda dan menyatakan apa yang dikenal sebagai Heawood estimate untuk angka yang diperlukan pada permukaan Euler characteristic.
Heawood menyumbangkan kontribusi pada 4 perkiraan warna pada tahun 1898, dia membuktikan bahwa jika angka dari masing-masing batas sekitar daerah adalah dapat terbagi tiga lalu daerah-daerah tersebut terdiri dari 4 warna. Dia kemudian menulis banyak paper tentang hasilnya tersebut.
Secara jelas sebuah grafik dapat dibuat dari semua peta yang daerahnya dijelaskan oleh titik tertinggi dan dua titik tertinggi yang tergabung oleh suatu ujung, jika daerah yang berhubungan dengan titik tertinggi berdekatan. Hasil grafiknya adalah planar, berarti bahwa grafik itu dapat digambar dalam permukaan tanpa ada ujung. 4 perkiraan warna menimbulkan pertanyaan jika titik tertinggi pada grafik dapat diwarnai dengan 4 warna, maka tidak ada dua titik tertinggi (yang berdekatan) yang mempunyai warna yang sama.
Berdasarkan grafik, sebuah triangulation dapat ditentukan dengan menambahkan batas untuk membagi semua bentuk non-traingular menjadi triangle. Sebuah bentuk adalah bagian dari tiangulation yang didalamnya terdapat sebuah sirkuit. Set yang tidak dapat dihindari adalah bentuk set dengan properti, yaitu bahwa semua triangulation harus terdiri dari salah satu bentuk dalam set. Suatu bentuk dapat dikurangi jika bentuk itu tidak dapat berada pada grafik terkecil triangulation yang tidak dapat dibuat menjadi 4 warna.
Pencarian untuk set yang dapat dihindari dimulai pada tahun 1904 pada karya Weinicle. Sedangkan, di Amerika pada saat Veblen yang menerbitkan paper pada tahun 1912 tentang 4 perkiraan warna meneruskan karya Heawood.
Franklin pada 1922 menerbitkan contoh yang lebih maju dari set yang tidak dapat dihindari dan menggunakan ide Birkhoff tentang kemampuan berkurang untuk membuktikan bahwa semua peta dengan daerah <= 25 dapat di 4 warna-kan. Angka daerah yang dihasilkan dalam 4 warna peta perlahan bertambah. Reynold menambah menjadi 27, pada tahun 1926, Winn menjadi 35 tahun 1940, Ore dan Setemple menambah menjadi 35 pada tahun 1970 dan Mayer menjadi 95 di tahun1976.
Akan tetapi, ide final dari solusi 4 perkiraan warna ini telah ada sebelum kedua hasil di atas tersebut. Heesh pada tahun 1969, mengenalkan method of discharging. Metode ini terdiri penentuan titik tertinggi dengan derajat i dengan charge 6-i. Sekarang berdasarkan formula Euler kita dapat menyimpulkan jumlah charge dari semua titik tertinggi pasti 12. Bentuk S yang telah ditentukan dapat dibuktikan tidak dapat dihindari jika untuk triangulation T yang tidak terdiri dari bentuk S, kita dapat mendistribusikan kembali charge tersebut (tanpa mengubah keseluruhan charge) maka tidak ada titik tertinggi yang menghasilkan charge positif.
Heesch berfikir bahwa 4 perkiraan warna dapat diselesaikan dengan meneliti set dengan 8900 bentuk. Ada kesulitan dalam pendekatan ini karena beberapa bentuk mempunyai pembatas lebih dari 18 ujung (batas) dan kemampuan berkurangnya tidak dapat ditest. Test pada kemampuan pengurangan menggunakan argumen rantai Kempe, tetapi beberapa bentuk mempunyai hambatan untuk mencegah reduksi.
Pada tahun 1976 diperlihatkan solusi lengkap untuk perkiraan warna, ketika pada saat itu menjadi teorema 4 warna untuk kedua kalinya, dan terakhir. Pembuktiannya dilakukan oleh Appel dan Haken, menggunakan berdasarkan pada metode kemampuan berkurang menggunakan rantai Kempe. Merek ajuga menggunakan ide Heesch dan akhirnya mereka membangun set yang tidak dapat dihindari dengan 1500 bentuk. Mereka mengatur untuk tetap menjaga ukuran ring pembatas dibawah <= 14 membuat perhitungan lebih mudah daripada yang dilakukan Heesch.
Teorema 4 warna adalah teorema penting yang pertama kali dibuktikan menggunakan komputer. Walalupun pada mulanya ada kekhawatiran, akhirnya pembuktian independen meyakinkan orang-orang bahwa teorema 4 warna telah dapat dibuktikan. Detail tentang bukti tersebut ditulis dalam 2 artikel pada tahun 1977.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Rabu, 09 September 2009
Matematika Astronomi : Penemuan Planet-Planet Secara Matematika
Planet yang pertama kali ditemukan adalah Uranus oleh William dan Caroline Herschel pada 13 maret 1781. Penemuan ini ditandai dengan penunjukkan sebauh cakram ketika berada dalam kemampuan teleskop yang rendah. Planet lain yang ditemukan adalah Neptunus dan Pluto. Hal ini diperkirakan dengan menggunakan dasar dari perhitungan Matematika dan berasal dari hokum gravitasi Newton yang lokasinya diamati secara dekat.
Neptunus ditemukan tanpa argument Matematika. Hal ini sangat dekat dengan penemuan oleh Galileo, orang yang pertama kali mengetahui kemungkinan ditemukannya planet baru. Galileo mengarahkan teleskopnya pada planet dan dengan takjub pada system Jupiter dan bulan yang ia teliti. Ketika ia mengamati system Jupiter pada 28 desember 1612, dia menemukan Neptunus dengan 8 bintang besar. Satu bulan sesudahnya pada 27 Januari 1613, dia melihat dua bintang, satu adalah Neptunus dan yang lainnya adalah sebuah bintang asli.
Lalande (1732 – 1807), seorang ahli astronomi Perancis yang menulis table paling akurat tentang kedudukan posisi-posisi planet itu hingga abad 19, mencatat Neptunus pada 8 dan 9 mei 1795 tidak mengerti bahwa itu adalah sebuah bintang. John Herschel, dimana kita akan mengetahui pada sebuah momen dengan melengkapi pengamatan pada Neptunus, pada 14 juli 1830 mempercayai bahwa itu adalah sebuah bintang.
Val Lamont (1805 – 1879), seorang ahli astronomi yang lahir di Skotlandia dimana hidupnya lebih banyak di Munich, yang terkenal karena pernyataannya tentang orbit dari bulan, Saturnus dan Uranus, dan juga terkenal karena pengamatan pada periode pergerakan dari magnet bumi. Dia membagi Neptunus menjadi tiga bagian waktu, yaitu 25 oktober 1845, 7 september 1846 dan 11 september 1846.
Penemuan Neptunus bukan berawal dari observasi kebetulan ini. Akan tetapi, dia datang dari sebuah analisa matematika dari penyimpangan Saturnus pada orbit yang diprediksinya. Delambre memperhitungkan table tentang posisi planet Tables du Solei, de Jupiter, de Saturne, d’Uranus et des satellites de Jupiter, diterbitkan pada tahun 1792. Bouvard (1767 – 1843) seorang ahli astronomi Perancis yang menjadi direktur dari penelitian Paris, mengumumkan tabel yang akurat dari orbit Jupiter dan Saturnus pada tahun 1808 dan mengkoreksi versi tabel Delambre untuk Uranus. Dia mengumumkan tabel baru Uranus pada tahun 1821, tetapi menulis :
...saya meninggalkan ini untuk masa depan dari penelitian, walaupun itu sangatlah sulit untuk menyatukannya (data) dengan menyambungkan observasi-observasi yang kuno, atau bergantung pada suatu negara asing dan tidak mengetahui penyebab dari pergerakkan planet.
Walaupun Bauvard menggunakan data yang terbaru untuk mendefinisikan orbit Uranus, tetapi ia terlihat menyimpang dari penentuan posisi yang ada ditabelnya. Pada 3 Juli 1841 Adam menulis :
Benarkah sebuah desain pada awal minggu ini, berdasarkan investigasi, secepat mungkin sesudah mengambil tingkatanku, gerakan yang tidak teratur dari Uranus, tidak (belum) dapat di hitung, untuk menemukan apakah mereka mungkin terpengaruh gerakan dari sebuah planet yang belum ditemukan, dan jika memungkinkan tentukan orbit-orbitnya, dan lain-lain... Kira-kira ini memungkinkan untuk memulai penelitian ini.
Tidak ada semua orang mempermasalahkan orbit Uranus untuk mengetahui planet didepannya. Airy, seorang ahli astronomi Royal, mempercayai teori popular lainnya, yaitu hukum persegi terbalik dari gravitasi. Sesudah Adam membuat penelitian awalnya kemungkinan adanya planet tak dikenal di Uranus, ia yakin bahwa ia berada pada jalan (penelitian) yang benar dan dia memperolehnya dari Airy tentang data Greenwich pada Uranus di Februari 1844.
Pada Juni 1845 Arago, direktur dari penelitian Perancis, membujuk Le Verrier untuk mulai bekerja pada masalah orbit Uranus. Dengan cepat Le Verrier memutuskan untuk memfokuskan dirinya secara penuh dalam masalah ini dan mengesampingkan penelitiannya (saat itu) tentang komet. Antara Le Verrier maupun Adam tidak ada yang mengetahui bahwa ada orang lain yang juga mengadakan penelitian dalam masalah itu.
September 1845, Adam membuat riset yang lebih detail dari masalah ini dan menyimpulkan sebuah orbit pada planet yang mengganggu. Seperti halnya dengan sebuah orbit, ia menghitung banyaknya planet dari posisi-posisinya pada 1 Oktober 1845. Dia memberikan perkiraannya pada James Challis, direktur dari penelitian Cambridge.
Adam memecahkan ilmu matematika baru disini. Teori gravitasi Newton selalu digunakan dalam banyak waktu untuk menghitung effek dari badan pada satu sama lainnya, tetapi tidak pernah digunakan untuk memperkirakan posisi berdasarkan observasi efek gravitasi pada badan lainnya. Akan tetapi Adam sangat percaya diri dalam penelitiannya dan menunjuk pada ’new planet’ . Sebuah usaha yang dilakukan oleh Adam untuk memberikan sebuah informasi pada Airy tentang ’new planet’ gagal ketika Adam mengunjungi Greenwich pada 23 September dalam perjalanan antara rumahnya di Laneast, Cornwall dan Cambridge karena Airy berada di Perancis saat itu.
Pada 21 Oktober 1845, Adam membuat usaha yang kedua kali untuk mengunjungi Airy. Dia diberitahu bahwa Airy sedang berada di London tetapi akan cepat kembali. Adam kembali pada sore harinya, tetapi Airy sedang makan malam. Airy mempunyai kebiasaan yang tidak biasa yaitu makan malam pada jam 3.30 setiap sorenya maka Adam-pun kembali lagi. Adam meninggalkan sebuah manuskrip dengan penelitiannya pada orbit Saturnus dimana dia menunjukkan bahwa kesalahan posisi Uranus sangat kecil.
Airy sangat tertarik pada karya Adam, pada 5 November dia menulis untuk Adam dan bertanya pertanyaan teknis. Dia ingin mengetahui apakah benar teori ’new planet’ tak hanya menerangkan pada perbedaan panjang garis bujur Uranus tetapi juga menerangkan perbedaan pada radius vektornya. Pertanyaan ini di buat untuk membedakan teori ’new planet’ dan teori ’hukum kegagalan persegi terbalik’. Akan tetapi, Adam sudah kecewa karena Airy menolak menemuinya, sehingga ia tidak memberikan jawaban. Dia mencoba mencari new planet sendiri.
Pada 10 November, Le Verrier mengumumkan laporan pertama penelitiannya. Menunjukkan bahwa gangguan orbit Uranus ke Jupiter dan Saturnus tidak dapat dijelaskan oleh penelitiannya. Pada 1 Juni 1846, Le Verrier mengumumnkan laporan keduanya dimana dia menunjukkan beberapa kemungkinan tidak akan dapat menjelaskan orbit Uranus, dan satu-satunya kemungkinan yang mungkin adalah sebuah planet lebih jauh jaraknya dari matahari dibandingkan dari Uranus. Dia memberikan beberapa kemungkinan orbit dari ‘new planet’ dengan perkiraaan posisi yang dimulai pada tahun 1847. Le Verrier mendekati pusat penelitian Paris untuk mencari planet tapi sesudah meneliti dengan singkat mereka kehilangan keinginannya.
Pada 23 Juni hasil dari laporan Le Verrier dibaca oleh Airy dan dengan cepat melihat bahwa prediksi Le Verrier dan prediksi Adam untuk posisi tentang ‘new planet’ sangatlah identik. Tiga hari sesudah dia menulis ke Le Verrier berisi beberapa pertanyaan mengenai radius vektor seperti pertanyaannya ke Adam. Anehnya Airy, yang mengetahui antara Adam dan Le Verrier mempunyai solusi yang mirip pada masalah yang sama, tidak memberitahu pada Le Verrier dan Adam akan penemuannya tersebut, dia juga mengatakan ke Le Verrier tentang rencanannya untuk memulai sebuah penelitian. Le Verrier menjawab pertanyaan Airy menyatakan bahwa penyimpangan berasal dari sebuah ‘new planet’.
Pada 29 Juni, Airy bertemu dengan Challis dan John Herschel di Greenwich dan berkata padanya :
...kemungkinan yang ekstrim pada saat ini mencari sebuah planet baru di dalam jangka waktu yang pendek, diperlukan kekeuatan dari satu penelitian untuk mencarinya.
Pada 9 Juli, Airy meminta pada Challis untuk memulai penelitiannya pada Cambridge Observatory. Dia menulis :
Ini adalah sebuah hal baru untuk diteliti dengan menggunakan teori dedukasi, dan ketika banyak peneliti telah menemukan jawabannya, sukses sepertinya sangat disangsikan.
Challis memulai penelitiannya pada 29 Juli 1846, mencatat bintang-bintang di daerah prediksi Adam. Dia mengamati pada malam hari, tanggal 29, 30 Juli, 4, 12 Agustus dan mencatat hasilnya. Dia mengecek lagi metodenya dengan membandingkan 39 bintang yang pertama kali ditemukan pada 12 Agustus dengan bintang yang muncul pada 30 Juli dalam catatannya. Jika dia meneruskan perbandingannya, dia akan menemukan ‘new planet’ yang ia catat pada 12 Agustus tetapi tidak pada daerah pencarian pada 30 Juli. Pada akhir Agustus, John Herschel mengunjungi seorang ahli astronomi amatir William Dawes dan berkata padanya mengenai ‘new planet’, tetapi karena Dawes hanya mempunyai sebuah teleskop kecil, dia menghentikan penelitiannya.
Pada 31 Agustus Le Verrier mengumumkan laporan ketiganya tentang ‘new planet’ pada waktu itu dia memberikan perkiraan orbit dan kumpulannya secara mendetail, dia menulis :
Harusnya mungkin untuk melihat planet baru dengan teleskop yang bagus dan juga untuk membedakan ukuran piringannya. Ini adalah sesuatu yang sangat penting... jika ada sebuah riset sederhana pada kemunculan fisik dapat mengganti determinasi dari posisi semua bintang, pencarian akan berjalan lebih cepat.
Adam menulis ke Airy pada 2 September dengan memberikan banyak analisis dari masalah. Solusi pertamanya adalah bergantung pada asumsi sebuah jarak dari ‘new planet’ dua kali jarak Uranus pada matahari. Dia tidak bahagia dengan kearbitreran dari solusinya dan dia membuat lagi analisis matematika yang lebih baik tentang jarak ‘new planet’ dengan mengetes perbedaan panjang dari Uranus yang diamati.
Le Verrier menulis ke Astronom Jerman, Gelle, pada 18 September dan memintanya untuk menemukan ‘new planet’. Galle menerima surat itu pada 23 September dan bersama-sama dengan asistennya Heinrich d’Arrest memulai sebuah penelitian pada malam hari di pusat penelitian Royal di Berlin. Dibutuhkan waktu 30 menit bagi mereka untuk menemukan ‘new planet’ dengan tidak menggunakan peta. Tentu saja mereka mengetahui bahwa mereka telah menemukan ’new planet’ tetapi mereka mengkonfirmasinya pada malam hari sesudahnya dengan meneliti gerakan relatif bintang.
Galle menulis ke Le Verrier pada 25 September, berkata :
Tuan, planet yang diindikasikan oleh anda sungguh-sungguh nyata.
Le Verrier menjawab :
Saya berterima kasih atas penindak lanjutan anda atas permintaan saya. Karenanya, kami mengucapkan terima kasih, dalam memastikan posisi dunia baru.
Pada 29 September penelitian Le Verrier tanggal 31 Agustus dibaca oleh Challis. Dia mengamati pada malam hari, mencari posisi piringan planet tersebut. Dia mencatat hanya satu dari 300 bintang-bintang dalam suatu daerah yang memperlihatkan piringannya.
Lassell memulai penelitiannya pada 2 Oktober dan 10 Oktober, dia menemukan bulan dari Neptunus yaitu Triton.
Pada 3 Oktober, Harschel mempublikasikan kontribusi Adam pada penemuan Neptunus. Kemudian Argumen tentang prioritas dan penamaan planet ini dibahas dalam artikel Orbits and Gravitation. Kontribusi Adam, Challes dan Airy dipublikasikan pada 13 November dalam pertemuan Royal Astronomical Society.
Pada saat orbit Neptunus bekerja dengan keadaan yang baik, catatan hasil yang lama dicari untuk melihat apakah hal ini pernah dicatat sebelumnya. Ketika observasi Lalande menemukan Neptunus pada 8 dan 9 Mei 1795, dicatat bahwa Lalande menolak posisi pada 8 Mei dan mancatat sebuah bintang pada posisi 10 Mei Neptunus, tetapi hal ini diragukan. Dia tidak pernah mempedulikan untuk membuat observasi lebih lanjut untuk mengkomfirmasikan data yang telah dihasilkan dalam penemuannya tentang Neptunus.
Sistem matahari tidak mampu bekerja seperti yang diharapkan. Planet Neptunus tidak mengikuti jalur orbit yang telah dihitung, bahkan setelah memasukkan daya tarik gravitas dari semua planet yang diketahui ke dalam perhitungannya. Percivall Lavell (1855 – 1916), seorang astronom dari Amerika, sangat tertarik dengan planet Mars. Dia membangun sebuah observatorium pribadi di Flagstaff, Arizona yang secara khusus mempelajari tentang planet. Dia memulai penelitiannya dengan analisa matematika orbit dari planet Uranus yang diketahui lebih akurat dibandingkan dengan planet Neptunus dan kemudian gagal di dalam mengamati jalur orbit yang telah diprediksikannya. Pada tahun 1905, Lavell telah merampungkan analisa data-datanya dan telah memprediksikan keberadaan dari planet setelah Neptunus yang mempengaruhi penyimpangan.
Tahun 1905, pengamatan secara astronomi telah diwujudkan secara besar-besaran dengan tekhnik fotografi, sebuah penelitian telah dimulai di observatorium Flagstaff pada tahun 1915 dan selama 2 tahun mereka mengambil gambar daerah di langit dimana posisi ”Planet X” -seperti yang dikatakan oleh Lavell- diprediksikan. Akan tetapi, ternyata tidak ada yang ditemukan, Lavell kembali menghitung analisa matematikanya dan antara tahun 1914 dan 1916, dia kembali mengambil gambar daerah di langit, prediksinya memperlihatkan bahwa keberadaan planet x adalah bohong. Akan tetapi, disana ada gambar planet Pluto (planet x nya Lavell) di dalam plat gambarnya tetapi samar-samar dan mereka tidak mengenalinya.
SUMBER :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2004. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Neptunus ditemukan tanpa argument Matematika. Hal ini sangat dekat dengan penemuan oleh Galileo, orang yang pertama kali mengetahui kemungkinan ditemukannya planet baru. Galileo mengarahkan teleskopnya pada planet dan dengan takjub pada system Jupiter dan bulan yang ia teliti. Ketika ia mengamati system Jupiter pada 28 desember 1612, dia menemukan Neptunus dengan 8 bintang besar. Satu bulan sesudahnya pada 27 Januari 1613, dia melihat dua bintang, satu adalah Neptunus dan yang lainnya adalah sebuah bintang asli.
Lalande (1732 – 1807), seorang ahli astronomi Perancis yang menulis table paling akurat tentang kedudukan posisi-posisi planet itu hingga abad 19, mencatat Neptunus pada 8 dan 9 mei 1795 tidak mengerti bahwa itu adalah sebuah bintang. John Herschel, dimana kita akan mengetahui pada sebuah momen dengan melengkapi pengamatan pada Neptunus, pada 14 juli 1830 mempercayai bahwa itu adalah sebuah bintang.
Val Lamont (1805 – 1879), seorang ahli astronomi yang lahir di Skotlandia dimana hidupnya lebih banyak di Munich, yang terkenal karena pernyataannya tentang orbit dari bulan, Saturnus dan Uranus, dan juga terkenal karena pengamatan pada periode pergerakan dari magnet bumi. Dia membagi Neptunus menjadi tiga bagian waktu, yaitu 25 oktober 1845, 7 september 1846 dan 11 september 1846.
Penemuan Neptunus bukan berawal dari observasi kebetulan ini. Akan tetapi, dia datang dari sebuah analisa matematika dari penyimpangan Saturnus pada orbit yang diprediksinya. Delambre memperhitungkan table tentang posisi planet Tables du Solei, de Jupiter, de Saturne, d’Uranus et des satellites de Jupiter, diterbitkan pada tahun 1792. Bouvard (1767 – 1843) seorang ahli astronomi Perancis yang menjadi direktur dari penelitian Paris, mengumumkan tabel yang akurat dari orbit Jupiter dan Saturnus pada tahun 1808 dan mengkoreksi versi tabel Delambre untuk Uranus. Dia mengumumkan tabel baru Uranus pada tahun 1821, tetapi menulis :
...saya meninggalkan ini untuk masa depan dari penelitian, walaupun itu sangatlah sulit untuk menyatukannya (data) dengan menyambungkan observasi-observasi yang kuno, atau bergantung pada suatu negara asing dan tidak mengetahui penyebab dari pergerakkan planet.
Walaupun Bauvard menggunakan data yang terbaru untuk mendefinisikan orbit Uranus, tetapi ia terlihat menyimpang dari penentuan posisi yang ada ditabelnya. Pada 3 Juli 1841 Adam menulis :
Benarkah sebuah desain pada awal minggu ini, berdasarkan investigasi, secepat mungkin sesudah mengambil tingkatanku, gerakan yang tidak teratur dari Uranus, tidak (belum) dapat di hitung, untuk menemukan apakah mereka mungkin terpengaruh gerakan dari sebuah planet yang belum ditemukan, dan jika memungkinkan tentukan orbit-orbitnya, dan lain-lain... Kira-kira ini memungkinkan untuk memulai penelitian ini.
Tidak ada semua orang mempermasalahkan orbit Uranus untuk mengetahui planet didepannya. Airy, seorang ahli astronomi Royal, mempercayai teori popular lainnya, yaitu hukum persegi terbalik dari gravitasi. Sesudah Adam membuat penelitian awalnya kemungkinan adanya planet tak dikenal di Uranus, ia yakin bahwa ia berada pada jalan (penelitian) yang benar dan dia memperolehnya dari Airy tentang data Greenwich pada Uranus di Februari 1844.
Pada Juni 1845 Arago, direktur dari penelitian Perancis, membujuk Le Verrier untuk mulai bekerja pada masalah orbit Uranus. Dengan cepat Le Verrier memutuskan untuk memfokuskan dirinya secara penuh dalam masalah ini dan mengesampingkan penelitiannya (saat itu) tentang komet. Antara Le Verrier maupun Adam tidak ada yang mengetahui bahwa ada orang lain yang juga mengadakan penelitian dalam masalah itu.
September 1845, Adam membuat riset yang lebih detail dari masalah ini dan menyimpulkan sebuah orbit pada planet yang mengganggu. Seperti halnya dengan sebuah orbit, ia menghitung banyaknya planet dari posisi-posisinya pada 1 Oktober 1845. Dia memberikan perkiraannya pada James Challis, direktur dari penelitian Cambridge.
Adam memecahkan ilmu matematika baru disini. Teori gravitasi Newton selalu digunakan dalam banyak waktu untuk menghitung effek dari badan pada satu sama lainnya, tetapi tidak pernah digunakan untuk memperkirakan posisi berdasarkan observasi efek gravitasi pada badan lainnya. Akan tetapi Adam sangat percaya diri dalam penelitiannya dan menunjuk pada ’new planet’ . Sebuah usaha yang dilakukan oleh Adam untuk memberikan sebuah informasi pada Airy tentang ’new planet’ gagal ketika Adam mengunjungi Greenwich pada 23 September dalam perjalanan antara rumahnya di Laneast, Cornwall dan Cambridge karena Airy berada di Perancis saat itu.
Pada 21 Oktober 1845, Adam membuat usaha yang kedua kali untuk mengunjungi Airy. Dia diberitahu bahwa Airy sedang berada di London tetapi akan cepat kembali. Adam kembali pada sore harinya, tetapi Airy sedang makan malam. Airy mempunyai kebiasaan yang tidak biasa yaitu makan malam pada jam 3.30 setiap sorenya maka Adam-pun kembali lagi. Adam meninggalkan sebuah manuskrip dengan penelitiannya pada orbit Saturnus dimana dia menunjukkan bahwa kesalahan posisi Uranus sangat kecil.
Airy sangat tertarik pada karya Adam, pada 5 November dia menulis untuk Adam dan bertanya pertanyaan teknis. Dia ingin mengetahui apakah benar teori ’new planet’ tak hanya menerangkan pada perbedaan panjang garis bujur Uranus tetapi juga menerangkan perbedaan pada radius vektornya. Pertanyaan ini di buat untuk membedakan teori ’new planet’ dan teori ’hukum kegagalan persegi terbalik’. Akan tetapi, Adam sudah kecewa karena Airy menolak menemuinya, sehingga ia tidak memberikan jawaban. Dia mencoba mencari new planet sendiri.
Pada 10 November, Le Verrier mengumumkan laporan pertama penelitiannya. Menunjukkan bahwa gangguan orbit Uranus ke Jupiter dan Saturnus tidak dapat dijelaskan oleh penelitiannya. Pada 1 Juni 1846, Le Verrier mengumumnkan laporan keduanya dimana dia menunjukkan beberapa kemungkinan tidak akan dapat menjelaskan orbit Uranus, dan satu-satunya kemungkinan yang mungkin adalah sebuah planet lebih jauh jaraknya dari matahari dibandingkan dari Uranus. Dia memberikan beberapa kemungkinan orbit dari ‘new planet’ dengan perkiraaan posisi yang dimulai pada tahun 1847. Le Verrier mendekati pusat penelitian Paris untuk mencari planet tapi sesudah meneliti dengan singkat mereka kehilangan keinginannya.
Pada 23 Juni hasil dari laporan Le Verrier dibaca oleh Airy dan dengan cepat melihat bahwa prediksi Le Verrier dan prediksi Adam untuk posisi tentang ‘new planet’ sangatlah identik. Tiga hari sesudah dia menulis ke Le Verrier berisi beberapa pertanyaan mengenai radius vektor seperti pertanyaannya ke Adam. Anehnya Airy, yang mengetahui antara Adam dan Le Verrier mempunyai solusi yang mirip pada masalah yang sama, tidak memberitahu pada Le Verrier dan Adam akan penemuannya tersebut, dia juga mengatakan ke Le Verrier tentang rencanannya untuk memulai sebuah penelitian. Le Verrier menjawab pertanyaan Airy menyatakan bahwa penyimpangan berasal dari sebuah ‘new planet’.
Pada 29 Juni, Airy bertemu dengan Challis dan John Herschel di Greenwich dan berkata padanya :
...kemungkinan yang ekstrim pada saat ini mencari sebuah planet baru di dalam jangka waktu yang pendek, diperlukan kekeuatan dari satu penelitian untuk mencarinya.
Pada 9 Juli, Airy meminta pada Challis untuk memulai penelitiannya pada Cambridge Observatory. Dia menulis :
Ini adalah sebuah hal baru untuk diteliti dengan menggunakan teori dedukasi, dan ketika banyak peneliti telah menemukan jawabannya, sukses sepertinya sangat disangsikan.
Challis memulai penelitiannya pada 29 Juli 1846, mencatat bintang-bintang di daerah prediksi Adam. Dia mengamati pada malam hari, tanggal 29, 30 Juli, 4, 12 Agustus dan mencatat hasilnya. Dia mengecek lagi metodenya dengan membandingkan 39 bintang yang pertama kali ditemukan pada 12 Agustus dengan bintang yang muncul pada 30 Juli dalam catatannya. Jika dia meneruskan perbandingannya, dia akan menemukan ‘new planet’ yang ia catat pada 12 Agustus tetapi tidak pada daerah pencarian pada 30 Juli. Pada akhir Agustus, John Herschel mengunjungi seorang ahli astronomi amatir William Dawes dan berkata padanya mengenai ‘new planet’, tetapi karena Dawes hanya mempunyai sebuah teleskop kecil, dia menghentikan penelitiannya.
Pada 31 Agustus Le Verrier mengumumkan laporan ketiganya tentang ‘new planet’ pada waktu itu dia memberikan perkiraan orbit dan kumpulannya secara mendetail, dia menulis :
Harusnya mungkin untuk melihat planet baru dengan teleskop yang bagus dan juga untuk membedakan ukuran piringannya. Ini adalah sesuatu yang sangat penting... jika ada sebuah riset sederhana pada kemunculan fisik dapat mengganti determinasi dari posisi semua bintang, pencarian akan berjalan lebih cepat.
Adam menulis ke Airy pada 2 September dengan memberikan banyak analisis dari masalah. Solusi pertamanya adalah bergantung pada asumsi sebuah jarak dari ‘new planet’ dua kali jarak Uranus pada matahari. Dia tidak bahagia dengan kearbitreran dari solusinya dan dia membuat lagi analisis matematika yang lebih baik tentang jarak ‘new planet’ dengan mengetes perbedaan panjang dari Uranus yang diamati.
Le Verrier menulis ke Astronom Jerman, Gelle, pada 18 September dan memintanya untuk menemukan ‘new planet’. Galle menerima surat itu pada 23 September dan bersama-sama dengan asistennya Heinrich d’Arrest memulai sebuah penelitian pada malam hari di pusat penelitian Royal di Berlin. Dibutuhkan waktu 30 menit bagi mereka untuk menemukan ‘new planet’ dengan tidak menggunakan peta. Tentu saja mereka mengetahui bahwa mereka telah menemukan ’new planet’ tetapi mereka mengkonfirmasinya pada malam hari sesudahnya dengan meneliti gerakan relatif bintang.
Galle menulis ke Le Verrier pada 25 September, berkata :
Tuan, planet yang diindikasikan oleh anda sungguh-sungguh nyata.
Le Verrier menjawab :
Saya berterima kasih atas penindak lanjutan anda atas permintaan saya. Karenanya, kami mengucapkan terima kasih, dalam memastikan posisi dunia baru.
Pada 29 September penelitian Le Verrier tanggal 31 Agustus dibaca oleh Challis. Dia mengamati pada malam hari, mencari posisi piringan planet tersebut. Dia mencatat hanya satu dari 300 bintang-bintang dalam suatu daerah yang memperlihatkan piringannya.
Lassell memulai penelitiannya pada 2 Oktober dan 10 Oktober, dia menemukan bulan dari Neptunus yaitu Triton.
Pada 3 Oktober, Harschel mempublikasikan kontribusi Adam pada penemuan Neptunus. Kemudian Argumen tentang prioritas dan penamaan planet ini dibahas dalam artikel Orbits and Gravitation. Kontribusi Adam, Challes dan Airy dipublikasikan pada 13 November dalam pertemuan Royal Astronomical Society.
Pada saat orbit Neptunus bekerja dengan keadaan yang baik, catatan hasil yang lama dicari untuk melihat apakah hal ini pernah dicatat sebelumnya. Ketika observasi Lalande menemukan Neptunus pada 8 dan 9 Mei 1795, dicatat bahwa Lalande menolak posisi pada 8 Mei dan mancatat sebuah bintang pada posisi 10 Mei Neptunus, tetapi hal ini diragukan. Dia tidak pernah mempedulikan untuk membuat observasi lebih lanjut untuk mengkomfirmasikan data yang telah dihasilkan dalam penemuannya tentang Neptunus.
Sistem matahari tidak mampu bekerja seperti yang diharapkan. Planet Neptunus tidak mengikuti jalur orbit yang telah dihitung, bahkan setelah memasukkan daya tarik gravitas dari semua planet yang diketahui ke dalam perhitungannya. Percivall Lavell (1855 – 1916), seorang astronom dari Amerika, sangat tertarik dengan planet Mars. Dia membangun sebuah observatorium pribadi di Flagstaff, Arizona yang secara khusus mempelajari tentang planet. Dia memulai penelitiannya dengan analisa matematika orbit dari planet Uranus yang diketahui lebih akurat dibandingkan dengan planet Neptunus dan kemudian gagal di dalam mengamati jalur orbit yang telah diprediksikannya. Pada tahun 1905, Lavell telah merampungkan analisa data-datanya dan telah memprediksikan keberadaan dari planet setelah Neptunus yang mempengaruhi penyimpangan.
Tahun 1905, pengamatan secara astronomi telah diwujudkan secara besar-besaran dengan tekhnik fotografi, sebuah penelitian telah dimulai di observatorium Flagstaff pada tahun 1915 dan selama 2 tahun mereka mengambil gambar daerah di langit dimana posisi ”Planet X” -seperti yang dikatakan oleh Lavell- diprediksikan. Akan tetapi, ternyata tidak ada yang ditemukan, Lavell kembali menghitung analisa matematikanya dan antara tahun 1914 dan 1916, dia kembali mengambil gambar daerah di langit, prediksinya memperlihatkan bahwa keberadaan planet x adalah bohong. Akan tetapi, disana ada gambar planet Pluto (planet x nya Lavell) di dalam plat gambarnya tetapi samar-samar dan mereka tidak mengenalinya.
SUMBER :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2004. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Selasa, 04 Agustus 2009
Matematika Astronomi : Sejarah Kosmologi
Empat ribu tahun yang lalu Babilonia mempunyai ahli astronomi terlatih. untuk memprediksi gerakan yangnyata dari sebuah bulan, bintang-bintang, planet-planet dan matahari di atas langit, dan juga memprediksi terjadinya gerhana. Akan tetapi, nenek moyang Yunani-lah yang pertama kali membuat sebuah model kosmologi untuk menginterpretasikan gerakan ini. Pada abad ke-4 sebelum Masehi, mereka mempunyai sebuah ide bahwasannya bintang-bintang berada pada sebuah lingkaran angkasa yang berotasi pada bola dunia setiap 24 jam, dan planet-planet, matahari, dan bulan, berpindah di antara bumi dan bintang-bintang.
Model ini di buat beberapa abad yang lalu, puncaknya pada abad ke-2 sesudah Masehi dengan ditemukannya sistem Ptolemi. Gerakan yang sempurna harus berada di dalam lingkaran, maka bintang-bintang dan planet-planet bergerak di dalam lingkaran. Untuk menghitung gerakan yang komplek dari planet-planet digunakan epicides maka perpindahan planet-planet di lingkaran melalui lingkaran sekitar arah bumi.
Meskipun hal ini adalah sebuah struktur yang kompleks. Ptolemy membuat sebuah model yang berhasil memproduksi gerakan yang terjadi pada sebuah planet, pada abad 16. Ketika Copernicus mengusulkan sebuah sistem heliosentrik, dia tidak bisa menyesuaikan dengan keakuratan sistem pusat bumi yang dimiliki Ptolemy. Ptolemy memmbuat sebuah model dimana bumi berotasi dan bersama-sama dengan planet lainnya berpindah dalam sebuah orbit sirkular matahari. Akan tetapi, bukti penelitian pada waktu itu sangat mendukung pada sistem Ptolemaic.
Ada banyak alasan lainnya mengapa para ahli astronomi menolak dugaan Copernicus yang menyatakan bahwa bumi mengorbit pada matahari. Tycho Brane seorang astronomi terbesar pada abad 16 menyatakan bahwa jika bumi mengitari matahari, maka posisi relatif bintang-bintang akan berubah seperti yang terlihat dari bagian-bagian yang berbeda pada orbit bumi. Akan tetapi, tidak ada bukti dalam hal ini, disebut dengan parallax. Walaupun bumi tetap atau tidak, bintang-bintang akan menjadi semakin jauh secara mengejutkan.
Dengan bantuan dari sebuah penemuan terbaru, yaitu teleskop, di awal abad 17 Galileo menyatakan bahwa suatu hal yang fatal pada anggapan bahwa bumi adalah pusat dari alam ini. Dia menemukan bulan mengorbit pada planet Jupiter. Dan jika bulan dapa mengorbit pada planet lain, mengapa planet-planet itu tidak mengorbit pada matahari ?
Pada waktu yang sama, Tycho Brane asisten Keppler menemukan kunci untuk membuat sebuah model heliocentrik. Planet-planet berpindah dalam bulatan panjang, bukan lingkaran yang sempurna, seperti matahari. Terakhir Newton menunjukkan bahwa gerakan berbentuk bulat panjang di jelaskan dengan hukum kuadrat berbalik pada kekuatan gravitasi.
Tapi banyaknya penelitian parallax dalam posisi yang menarik dari sebuah bintang-bintang seperti bumi yang berotasi pada matahari, mengindikasikan bahwa bintang-bintang mempunyai jarak yang sangat jauh dari matahari. Kosmos kelihatan menjadi sebuah laut yang luas terdiri dari bintang-bintang, jika dilihat dengan bantuan teleskop. Galileo menemukan 4 ribu bintang-bintang baru di mana mereka tidak dapat dilihat oleh mata telanjang. Newton menyimpulkan bahwa alam merupakan sebuah lautan bintang-bintang yang abadi dan tak terbatas, seperti matahari kita.
Tidak sampai pada abad ke-19 ketika para ahli astronomi dan matematikawan Bessel pada akhirnya dapat mengukur jarak ke bintang dengan menggunakan Parallax. Bintang yang terdekat (selain dari matahari) sekitar 25 juta, juta mil jauhnya ! ( dengan membandingkan matahari yang jauhnya 93 juta mil dari bumi)
Kebanyakan dari bintang-bintang yang dpaat kita lihat terdapat di Milky Way-kumpulan bintang-bintang yang terang yang terbentang di langit pada malam hari. Kant dan yang lainnya menunjukkan bahwa Miky Way merupakan sebuah lensa yang disebut 'pulau dunia' atau galaksi, dan di atas Milky Way masih ada banyak galaksi lain.
Seperti bintang-bintang dan planet-planet, para ahli astronomi menemukan titik kabur cahaya pada malam hari, mereka menyebutnya dengan nebula. beberapa ahli astronomi berpendapat bahwa ini adalah galaksi yang jauh. Pada tahun 1920 ahli astronomi Amerika Hubble menemukan beberapa nebula di mana ukurannya sama seperti bintang jauh dalam Milky Way.
Hubble juga membuat penemuan yang luar biasa bahwa galaksi terlihat berpindah menjauhi kami, dengan sebuah kecepatan yang seimbang sesuai jaraknya dari kami. Ini kelihatannya lebih realistas dan merupakan penjelasan yang nyata dalam penemuan Einstein dengan teori Relativitas : Alam semesta kami adalah luas !
mungkin saja, Einstein telah memprediksi bahwa alam semesta ini luas, sesudah mengajukan teori pertamanya di tahun 1915. Masalah ini cenderung pada jatuh secara bersama-sama karena gravitasi maka tidaklah mungkin untuk menyatakan bahwa alam semesta itu tidak bergerak. Einstein menyadari ia dapat menggunakan ketetapan arbitrer pada persamaan matematikanya, yang dapat menyeimbangkan kekuatan gravitasi dan tidak mengikutsertakan galaksi. Hal ini dikenal dengan ketetapan kosmologi. Sesudah adanya penemuan yang menyatakan bahwa alam itu luas, Einstein mengumumkan bahwa ketepatan kosmologi adalah kekeliruan terbesar dalam hidupnya.
Ahli matematika meteorologi dari Rusia Friedmann mengatakan di tahun 1917 bahwa Einstein menghitung sebuah gambaran dari sebuah alam yang luas. Solusi ini mencantumkan bahwa alam lahir dari pada satu momen, sekitar sepuluh ribu juta tahun lalu. Semua itu, bahkan alam semesta sendiri, tercipta hanya pada satu ketika. Astronom Inggris Fred Hoyle menyebutnya sebagai "Big Bang".
Ada sebuah teori yang menjadi saingan, disebut dengan Teori Steady State diajukan oleh Bondi, Gold, dan Hoyle yang dibuat untuk menjelaskan perluasan alam raya. Hal ini membutuhkan penciptaan sesuatu yang bersambung untuk membuat galaksi-galaksi baru sebagai perluasan alam raya, menyakinkan bahwa alam raya itu dapat bertambah luas tetapi selalu tetap dalam waktu.
untuk beberapa tahun hal ini hayalah terlihat sebagai sesuatu yang akademis, dimana alam raya abadi dan dapat berubah, atau hanya eksis untuk jangka waktu yang terbatas. Tapi sebuah pukulan telak memruntuhkan model steady state ketika pada tahun 1965 Penzias dan Wislson menemukan sebuah radiasi mikrowave kosmik. Hal ini menunjukkan hasil radiasi dari sebuah ledakan besar yang panas, dimana diprediksi oleh Alpher dan Hermann di tahun 1949.
Menindaklanjuti dari kerja Gamow, Alpher dan Hermann ditahun 1940, teorinya adalah menghitung kelebihan relatif dari Hidrogen dan Helium yang mungkin dihasilkan pada saat ledakan Big Bang dan menemukan hal itu seseuai dengan pengamatan. Ketika kelebihan relatif cahaya lain dihitung keduanya konsisten dengan nilai yang diamati.
Sejak 1970, banyak ahli kosmologi yang menerima model Big Bang dan mulai bertanya lebih spesifik, tetapi tetap fundamental, pertanyaannya mengenai alam raya ini. Mengapa galaksi-galaksi dan sekelompok galaksi yang kami ini diluar dari bentuk perluasan sebelumnya. Alam raya ini terbuat dari apa ? bagaimana kami mengetahui bahwa tidak ada lubang hitam atau bentuk-bentuk hitam di atas sana yang tidak bersinar seperti bintang ? relativitas umum menyatakan bentuk kurva ruang waktu, lalu bagaimanakah bentuk alam raya ? apakah ada sebuah kosmologi yang tetap sesudah itu ?
Kami hanya akan menjawab beberapa pertanyaan saja. Latar belakang radiasi gelombang mikro kosmik memainkan peranan penting dengan memberikan gambaran tentang alam semesta hanya seratus ribu tahun setelah Bing Bang. Hal ini adalah urutan yang luar biasa, pada tahun 1992 satelit Cosmic Background Explorer NASA mendeteksi anisotropies pertama pada latar belakang radiasi. Ada sedikit fluktuasi pada suhu radiasi, sekitar satu bagian per 500.000, mungkin awal dari terbentuknya galaksi.
Sejak awal 1980, ada sebuah penelitian yang menarik dari bentuk fisik awal alam raya. Teknologi baru dan penelitian dengan satelit, seperti teleskop Hubbie memberikan gambaran dari alam raya ini, menginspirasikan teori baru untuk meghasilkan lebih banyak model-model yang lebih hebat.
Sumber :
Haza'a, Salah Kaduri. dkk, 2004. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Model ini di buat beberapa abad yang lalu, puncaknya pada abad ke-2 sesudah Masehi dengan ditemukannya sistem Ptolemi. Gerakan yang sempurna harus berada di dalam lingkaran, maka bintang-bintang dan planet-planet bergerak di dalam lingkaran. Untuk menghitung gerakan yang komplek dari planet-planet digunakan epicides maka perpindahan planet-planet di lingkaran melalui lingkaran sekitar arah bumi.
Meskipun hal ini adalah sebuah struktur yang kompleks. Ptolemy membuat sebuah model yang berhasil memproduksi gerakan yang terjadi pada sebuah planet, pada abad 16. Ketika Copernicus mengusulkan sebuah sistem heliosentrik, dia tidak bisa menyesuaikan dengan keakuratan sistem pusat bumi yang dimiliki Ptolemy. Ptolemy memmbuat sebuah model dimana bumi berotasi dan bersama-sama dengan planet lainnya berpindah dalam sebuah orbit sirkular matahari. Akan tetapi, bukti penelitian pada waktu itu sangat mendukung pada sistem Ptolemaic.
Ada banyak alasan lainnya mengapa para ahli astronomi menolak dugaan Copernicus yang menyatakan bahwa bumi mengorbit pada matahari. Tycho Brane seorang astronomi terbesar pada abad 16 menyatakan bahwa jika bumi mengitari matahari, maka posisi relatif bintang-bintang akan berubah seperti yang terlihat dari bagian-bagian yang berbeda pada orbit bumi. Akan tetapi, tidak ada bukti dalam hal ini, disebut dengan parallax. Walaupun bumi tetap atau tidak, bintang-bintang akan menjadi semakin jauh secara mengejutkan.
Dengan bantuan dari sebuah penemuan terbaru, yaitu teleskop, di awal abad 17 Galileo menyatakan bahwa suatu hal yang fatal pada anggapan bahwa bumi adalah pusat dari alam ini. Dia menemukan bulan mengorbit pada planet Jupiter. Dan jika bulan dapa mengorbit pada planet lain, mengapa planet-planet itu tidak mengorbit pada matahari ?
Pada waktu yang sama, Tycho Brane asisten Keppler menemukan kunci untuk membuat sebuah model heliocentrik. Planet-planet berpindah dalam bulatan panjang, bukan lingkaran yang sempurna, seperti matahari. Terakhir Newton menunjukkan bahwa gerakan berbentuk bulat panjang di jelaskan dengan hukum kuadrat berbalik pada kekuatan gravitasi.
Tapi banyaknya penelitian parallax dalam posisi yang menarik dari sebuah bintang-bintang seperti bumi yang berotasi pada matahari, mengindikasikan bahwa bintang-bintang mempunyai jarak yang sangat jauh dari matahari. Kosmos kelihatan menjadi sebuah laut yang luas terdiri dari bintang-bintang, jika dilihat dengan bantuan teleskop. Galileo menemukan 4 ribu bintang-bintang baru di mana mereka tidak dapat dilihat oleh mata telanjang. Newton menyimpulkan bahwa alam merupakan sebuah lautan bintang-bintang yang abadi dan tak terbatas, seperti matahari kita.
Tidak sampai pada abad ke-19 ketika para ahli astronomi dan matematikawan Bessel pada akhirnya dapat mengukur jarak ke bintang dengan menggunakan Parallax. Bintang yang terdekat (selain dari matahari) sekitar 25 juta, juta mil jauhnya ! ( dengan membandingkan matahari yang jauhnya 93 juta mil dari bumi)
Kebanyakan dari bintang-bintang yang dpaat kita lihat terdapat di Milky Way-kumpulan bintang-bintang yang terang yang terbentang di langit pada malam hari. Kant dan yang lainnya menunjukkan bahwa Miky Way merupakan sebuah lensa yang disebut 'pulau dunia' atau galaksi, dan di atas Milky Way masih ada banyak galaksi lain.
Seperti bintang-bintang dan planet-planet, para ahli astronomi menemukan titik kabur cahaya pada malam hari, mereka menyebutnya dengan nebula. beberapa ahli astronomi berpendapat bahwa ini adalah galaksi yang jauh. Pada tahun 1920 ahli astronomi Amerika Hubble menemukan beberapa nebula di mana ukurannya sama seperti bintang jauh dalam Milky Way.
Hubble juga membuat penemuan yang luar biasa bahwa galaksi terlihat berpindah menjauhi kami, dengan sebuah kecepatan yang seimbang sesuai jaraknya dari kami. Ini kelihatannya lebih realistas dan merupakan penjelasan yang nyata dalam penemuan Einstein dengan teori Relativitas : Alam semesta kami adalah luas !
mungkin saja, Einstein telah memprediksi bahwa alam semesta ini luas, sesudah mengajukan teori pertamanya di tahun 1915. Masalah ini cenderung pada jatuh secara bersama-sama karena gravitasi maka tidaklah mungkin untuk menyatakan bahwa alam semesta itu tidak bergerak. Einstein menyadari ia dapat menggunakan ketetapan arbitrer pada persamaan matematikanya, yang dapat menyeimbangkan kekuatan gravitasi dan tidak mengikutsertakan galaksi. Hal ini dikenal dengan ketetapan kosmologi. Sesudah adanya penemuan yang menyatakan bahwa alam itu luas, Einstein mengumumkan bahwa ketepatan kosmologi adalah kekeliruan terbesar dalam hidupnya.
Ahli matematika meteorologi dari Rusia Friedmann mengatakan di tahun 1917 bahwa Einstein menghitung sebuah gambaran dari sebuah alam yang luas. Solusi ini mencantumkan bahwa alam lahir dari pada satu momen, sekitar sepuluh ribu juta tahun lalu. Semua itu, bahkan alam semesta sendiri, tercipta hanya pada satu ketika. Astronom Inggris Fred Hoyle menyebutnya sebagai "Big Bang".
Ada sebuah teori yang menjadi saingan, disebut dengan Teori Steady State diajukan oleh Bondi, Gold, dan Hoyle yang dibuat untuk menjelaskan perluasan alam raya. Hal ini membutuhkan penciptaan sesuatu yang bersambung untuk membuat galaksi-galaksi baru sebagai perluasan alam raya, menyakinkan bahwa alam raya itu dapat bertambah luas tetapi selalu tetap dalam waktu.
untuk beberapa tahun hal ini hayalah terlihat sebagai sesuatu yang akademis, dimana alam raya abadi dan dapat berubah, atau hanya eksis untuk jangka waktu yang terbatas. Tapi sebuah pukulan telak memruntuhkan model steady state ketika pada tahun 1965 Penzias dan Wislson menemukan sebuah radiasi mikrowave kosmik. Hal ini menunjukkan hasil radiasi dari sebuah ledakan besar yang panas, dimana diprediksi oleh Alpher dan Hermann di tahun 1949.
Menindaklanjuti dari kerja Gamow, Alpher dan Hermann ditahun 1940, teorinya adalah menghitung kelebihan relatif dari Hidrogen dan Helium yang mungkin dihasilkan pada saat ledakan Big Bang dan menemukan hal itu seseuai dengan pengamatan. Ketika kelebihan relatif cahaya lain dihitung keduanya konsisten dengan nilai yang diamati.
Sejak 1970, banyak ahli kosmologi yang menerima model Big Bang dan mulai bertanya lebih spesifik, tetapi tetap fundamental, pertanyaannya mengenai alam raya ini. Mengapa galaksi-galaksi dan sekelompok galaksi yang kami ini diluar dari bentuk perluasan sebelumnya. Alam raya ini terbuat dari apa ? bagaimana kami mengetahui bahwa tidak ada lubang hitam atau bentuk-bentuk hitam di atas sana yang tidak bersinar seperti bintang ? relativitas umum menyatakan bentuk kurva ruang waktu, lalu bagaimanakah bentuk alam raya ? apakah ada sebuah kosmologi yang tetap sesudah itu ?
Kami hanya akan menjawab beberapa pertanyaan saja. Latar belakang radiasi gelombang mikro kosmik memainkan peranan penting dengan memberikan gambaran tentang alam semesta hanya seratus ribu tahun setelah Bing Bang. Hal ini adalah urutan yang luar biasa, pada tahun 1992 satelit Cosmic Background Explorer NASA mendeteksi anisotropies pertama pada latar belakang radiasi. Ada sedikit fluktuasi pada suhu radiasi, sekitar satu bagian per 500.000, mungkin awal dari terbentuknya galaksi.
Sejak awal 1980, ada sebuah penelitian yang menarik dari bentuk fisik awal alam raya. Teknologi baru dan penelitian dengan satelit, seperti teleskop Hubbie memberikan gambaran dari alam raya ini, menginspirasikan teori baru untuk meghasilkan lebih banyak model-model yang lebih hebat.
Sumber :
Haza'a, Salah Kaduri. dkk, 2004. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Sabtu, 30 Mei 2009
Proporsi
Pada saat siswa mempelajari dan berlatih tentang rasio, atau perbandingan, mereka mulai mempunyai pengalaman tentang berbagai perbandingan, termasuk perbandingan-perbandingan yang mempunyai rasio sama. Misalnya, dalam kesebangunan geometri, rasio sebarang dua sisi dari bangun yang lebih kecil sama dengan rasio sisi-sisi yang bersesuaian dari bangun yang lebih besar.
Suatu Proporsi adalah pernyataan tentang kesamaan dua rasio. Dua notasi yang berbeda yang biasa digunakan seperti berikut :
2 : 5 = 6 : 15 atau 2/5 = 6/15
dibaca 2 berbanding 5 sama dengan 6 berbanding 15, atau 2 per 5 sama dengan 6 per 15.
Ada perbedaan yang jelas antara suatu proporsi dan konsep pecahan senilai (sama, ekuivalen). Dua pecahan yang senilai menyatakan bilangan, jumlah, atau kuantitas sama, tetapi lambangnya berbeda, yaitu dua bilangan rasional yang sama dalam bentuk yang berbeda. Proporsi terkait dengan fakta dari dua keadaan atau lebih, misalnya dalam satu tas terdapat 2 pensil dan 5 pulpen, dan tas yang lain terdapat 6 pensil dan 15 pulpen. Banyaknya pensil dan pulpen dalam kedua tas adalah jelas berbeda, tetapi perbandingan banyaknya pensil dan pulpen dari tas pertama dan tas kedua adalah sama.
Jika dalam suatu proporsi diketahui tiga bilangan dan bilangan keempat dicari, maka pekerjaan ini disebut penjelasan suatu proporsi. Penyelesaian proporsi dilakukan dengan menggunakan sifat dua bilangan rasional yang sama, yaitu :
a/b = c/d jika dan hanya jika ad = bc.
Suatu Proporsi adalah pernyataan tentang kesamaan dua rasio. Dua notasi yang berbeda yang biasa digunakan seperti berikut :
2 : 5 = 6 : 15 atau 2/5 = 6/15
dibaca 2 berbanding 5 sama dengan 6 berbanding 15, atau 2 per 5 sama dengan 6 per 15.
Ada perbedaan yang jelas antara suatu proporsi dan konsep pecahan senilai (sama, ekuivalen). Dua pecahan yang senilai menyatakan bilangan, jumlah, atau kuantitas sama, tetapi lambangnya berbeda, yaitu dua bilangan rasional yang sama dalam bentuk yang berbeda. Proporsi terkait dengan fakta dari dua keadaan atau lebih, misalnya dalam satu tas terdapat 2 pensil dan 5 pulpen, dan tas yang lain terdapat 6 pensil dan 15 pulpen. Banyaknya pensil dan pulpen dalam kedua tas adalah jelas berbeda, tetapi perbandingan banyaknya pensil dan pulpen dari tas pertama dan tas kedua adalah sama.
Jika dalam suatu proporsi diketahui tiga bilangan dan bilangan keempat dicari, maka pekerjaan ini disebut penjelasan suatu proporsi. Penyelesaian proporsi dilakukan dengan menggunakan sifat dua bilangan rasional yang sama, yaitu :
a/b = c/d jika dan hanya jika ad = bc.
Sumber :
Muhsetyo, dkk. 2007. Pembelajaran Matematika SD. Jakarta : Universitas Terbuka.
Rasio
Suatu rasio suatu pasangan terurut bilangan atau pengukuran yang digunakan untuk menyatakan perbandingan bilangan atau pengukuran. Permasalahan sehari-hari yang terkait dengan rasio bilangan atau pengukuran antara lain adalah panjang atau jarak terhadap waktu, jumlah barang dan harga barang, panjang dengan panjang, luas dengan luas, volume dengan volume, berat barang dengan harga barang, nilai uang dengan nilai uang, umur orang dengan umur orang, dan temperatur (suhu) dengan temperatur.
Pada dasarnya rasio dan pecahan mempunyai makna yang sama sebagai perbandingan. Pecahan dimaksudkan untuk membandingkan bagian terhadap keseluruhan. Pecahan 2/3 adalah perbandingan 2 bagian terhadap 3 bagian pembentuk keseluruhan, yang mana bagian dan keseluruhan diukur menurut pertigaan. Rasio adalah suatu perbandingan bagian terhadap keseluruhan, berarti semua pecahan adalah rasio, tetapi tidak semua rasio adalah pecahan. Suatu keadaan yang mana mempunyai rasio 5 dengan 0 dapat terjadi karena bagian pertama memperoleh 5 dan bagian yang kedua memperoleh 0, tetapi 5/0 bukan pecahan karena pembagian dengan nol tidak ada atau tidak didefinisikan.
Sumber :
Muhsetyo, dkk. 2007. Pembelajaran Matematika SD. Jakarta : Universitas Terbuka.
Pembelajaran Kontekstual
Pembelajaran kontekstual berangkat dari suatu keyakinan bahwa seseorang tertarik untuk belajar apabila ia melihat makna dari apa yang dipelajarinya. Orang akan meilhat makna dari apa yang dipelajarinya apabila ia dapat menghubungkan informasi yang diterima dengan pengetahuan dan pengalamannya terdahulu. Sistem pembelajaran kontekstual didasarkan pada anggapan bahwa makna memancar dari hubungan antara isi dan konteksnya. Konteks memberi makna pada isi. Lebih luas konteks, dalam mana siswa dapat membuat hubungan-hubungan, lebih banyak makna isi ditangkap oleh siswa. Bagian terbesar tugas guru, dengan demikian, adalah menyediakan konteks. Apabila siswa dapat semakin banyak menghubungkan pelajaran sekolah dengan konteks ini, maka lebih banyak makna yang akan mereka peroleh dari pelajaran-pelajaran tersebut. Menemukan makna dalam pengetahuan dan keterampilan membawa pada penguasaan pengetahuan dan keterampilan tersebut. (Johnson dalam Hadi, 2005)
Pembelajaran kontekstual merupakan sistem yang holistik (menyeluruh). Ia terdiri dari bagian-bagian yang saling berkaitan, yang apabila dipadukan akan menghasilkan efek yang melebihi apa yang dapat dihasilkan oleh suatu bagian secara sendiri (tunggal). Jadi, bagian-bagian yang terpisah dari CTL melibatkan proses yang berbeda, apabila digunakan secara bersama-sama, memungkinkan siswa membuat hubungan untuk menemukan makna. Setiap elemen yang berbeda dalam sistem CTL memberikan kontribusi untuk membantu siswa memahami makna pelajaran atau tugas-tugas sekolah. Digabungkan, elemen-elemen tersebut membentuk sesuatu yang memungkinkan siswa melihat makna dari pelajaran sekolah, dan menyimpannya. (Johnson dalam Hadi, 2005)
Sumber :
Hadi, S. 2005. Pendidikan Matematika Realistik. Tulip: Banjarmasin
Kamis, 05 Maret 2009
Fungsi Evaluasi Pendidikan
Bagi pendidik, secara didaktik evaluasi pendidikan itu setidak-tidaknya memiliki lima macam fungsi, yaitu :
1. Memberikan landasan untuk menilai hasil usaha (prestasi) yang telah dicapai oleh peserta didiknya.
Di sini, evaluasi dikatakan berfungsi memeriksa (= mendiagnose), yaitu memeriksa pada bagian-bagian manakah para peserta didik pada umumnya mengalami kesulitan dalam mengikuti proses pembelajaran, untuk selanjutnya dapat dicari dan ditemukan jalan keluar atau cara-cara pemecahannya. Jadi, di sini evaluasi mempunyai fungsi diagnostik.
2. Memberikan informasi yang sangat berguna, guna mengetahui posisi masing-masing peserta didik di tengah-tengah kelompoknya.
Dalam hubungan ini, evaluasi sangat diperlukan untuk dapat menentukan secara pasti, pada kelompok manakah kiranya seorang peserta didik seharusnya ditempatkan. Dengan kata lain, evaluasi pendidikan berfungsi menempatkan peserta didik menurut kelompoknya masing-masing, misalnya kelompok atas (= cerdas), kelompok tengah (= rata-rata), dan kelompok bawah (= lemah). Jadi, di sini evaluasi memiliki fungsi placement.
3. Memberikan bahan yang penting untuk memilih dan kemudian menetapkan status peserta didik.
Dalam hubungan ini, evaluasi pendidikan dilakukan untuk menetapkan, apakah seorang peserta didik dapat dinyatakan lulus atau tidak lulus, dapat dinyatakan naik kelas ataukah tinggal kelas, dapat diterima pada jurusan tertentu ataukah tidak, dapat diberikan bea siswa, ataukah tidak dan sebagainya. Dengan demikian, evaluasi memiliki fungsi selektif.
4. Memberikan pedoman untuk mencari dan menemukan jalan keluar bagi peserta didik yang memang memerlukannya.
Berlandaskan pada hasil evaluasi, pendidik dimungkinkan untuk dapat memberikan petunjuk dan bimbingan kepada para peserta didik, misalnya tentang bagaimana cara belajar yang baik, cara mengatur waktu belajar, cara membaca dan mendalami buku pelajaran dan sebagainya, sehingga kesulitan-kesulitan yang dihadapi oleh peserta didik dalam proses pembelajaran dapat diatasi dengan sebaik-baiknya. Dalam keadaan seperti ini, evaluasi dikatakan memiliki fungsi bimbingan.
5. Memberikan petunjuk tentang sudah sejauh manakah program pengajaran yang telah ditentukan telah dapat dicapai.
Di sini evaluasi dikatakan memiliki fungsi instruksional, yaitu melakukan perbandingan antara Tujuan Instruksional Khusus (TIK) yang telah ditentukan untuk masing-masing mata pelajaran dengan hasil-hasil belajar yang telah dicapai oleh peserta didik bagi masing-masing mata pelajaran tersebut, dalam jangka waktu yang telah ditentukan.
Adapun secara administratif, evaluasi pendidikan setidak-tidaknya memiliki tiga macam fungsi, yaitu :
1. Memberikan Laporan
Dalam melakukan evaluasi, akan dapat disusun dan disajikan laporan mengenai kemajuan dan perkembangan peserta didik setelah mereka mengikuti proses pembelajaran dalam jangka waktu tertentu. Laporan mengenai perkembangan dan kemajuan belajar peserta didik itu pada umumnya tertuang dalam bentuk Buku Laporan Kemajuan Belajar Siswa, yang lebih dikenal dengan istilan Rapor (untuk peserta didik pada pendidikan dasar dan pendidikan menengah), atau Kartu Hasil Studi (KHS), bagi peserta didik di lembaga pendidikan tinggi, yang selanjutnya disampaikan kepada orang tua peserta didik tersebut pada setiap catur wulan atau akhir semester.
2. Memberikan Bahan-bahan Keterangan (Data)
Setiap keputusan pendidikan harus didasarkan kepada data yang lengkap dan akurat. Dalam hubungan ini, nilai-nilai hasil belajar peserta didik yang diperoleh dari kegiatan evaluasi, adalah merupakan data yang sangat penting untuk keperluan pengambilan keputusan pendidikan dan lembaga pendidikan : apakah seorang peserta didik dapat dinyatakan tamat belajar, dapat dinyatakan naik kelas, tinggal kelas, lulus ataukah tidak lulus, dan sebagainya.
3. Memberikan Gambaran
Gambaran mengenai hasil-hasil yang telah dicapai dalam proses pembelajaran tercermin antara lain dari hasil-hasil belajar peserta didik setelah dilakukannya evaluasi hasil belajar. Dari kegiatan evaluasi hasil belajar yang telah dilakukan untuk berbagai jenis mata pelajaran misalnya, akan dapat tergambar bahwa dalam mata pelajaran tertentu (misalnya Bahasa Arab, matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam) pada umumnya kemampuan peserta didik masih sangat memprihatinkan. Sebaliknya, untuk mata pelajaran Pendidikan Moral Pancasila dan Ilmu Pengetahuan Sosial misalnya, hasil belajar siswa pada umumnya sangat menggembirakan. Gambaran tentang kualitas hasil belajar peserta didik juga diperoleh berdasar data yang berupa Nilai Ebtanas Murni (NEM), Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) dan lain-lain.
Sumber :
Sudijono, Anas. 2005. Pengantar Evaluasi Pendidikan. Jakarta : RajaGrafindo Persada.
1. Memberikan landasan untuk menilai hasil usaha (prestasi) yang telah dicapai oleh peserta didiknya.
Di sini, evaluasi dikatakan berfungsi memeriksa (= mendiagnose), yaitu memeriksa pada bagian-bagian manakah para peserta didik pada umumnya mengalami kesulitan dalam mengikuti proses pembelajaran, untuk selanjutnya dapat dicari dan ditemukan jalan keluar atau cara-cara pemecahannya. Jadi, di sini evaluasi mempunyai fungsi diagnostik.
2. Memberikan informasi yang sangat berguna, guna mengetahui posisi masing-masing peserta didik di tengah-tengah kelompoknya.
Dalam hubungan ini, evaluasi sangat diperlukan untuk dapat menentukan secara pasti, pada kelompok manakah kiranya seorang peserta didik seharusnya ditempatkan. Dengan kata lain, evaluasi pendidikan berfungsi menempatkan peserta didik menurut kelompoknya masing-masing, misalnya kelompok atas (= cerdas), kelompok tengah (= rata-rata), dan kelompok bawah (= lemah). Jadi, di sini evaluasi memiliki fungsi placement.
3. Memberikan bahan yang penting untuk memilih dan kemudian menetapkan status peserta didik.
Dalam hubungan ini, evaluasi pendidikan dilakukan untuk menetapkan, apakah seorang peserta didik dapat dinyatakan lulus atau tidak lulus, dapat dinyatakan naik kelas ataukah tinggal kelas, dapat diterima pada jurusan tertentu ataukah tidak, dapat diberikan bea siswa, ataukah tidak dan sebagainya. Dengan demikian, evaluasi memiliki fungsi selektif.
4. Memberikan pedoman untuk mencari dan menemukan jalan keluar bagi peserta didik yang memang memerlukannya.
Berlandaskan pada hasil evaluasi, pendidik dimungkinkan untuk dapat memberikan petunjuk dan bimbingan kepada para peserta didik, misalnya tentang bagaimana cara belajar yang baik, cara mengatur waktu belajar, cara membaca dan mendalami buku pelajaran dan sebagainya, sehingga kesulitan-kesulitan yang dihadapi oleh peserta didik dalam proses pembelajaran dapat diatasi dengan sebaik-baiknya. Dalam keadaan seperti ini, evaluasi dikatakan memiliki fungsi bimbingan.
5. Memberikan petunjuk tentang sudah sejauh manakah program pengajaran yang telah ditentukan telah dapat dicapai.
Di sini evaluasi dikatakan memiliki fungsi instruksional, yaitu melakukan perbandingan antara Tujuan Instruksional Khusus (TIK) yang telah ditentukan untuk masing-masing mata pelajaran dengan hasil-hasil belajar yang telah dicapai oleh peserta didik bagi masing-masing mata pelajaran tersebut, dalam jangka waktu yang telah ditentukan.
Adapun secara administratif, evaluasi pendidikan setidak-tidaknya memiliki tiga macam fungsi, yaitu :
1. Memberikan Laporan
Dalam melakukan evaluasi, akan dapat disusun dan disajikan laporan mengenai kemajuan dan perkembangan peserta didik setelah mereka mengikuti proses pembelajaran dalam jangka waktu tertentu. Laporan mengenai perkembangan dan kemajuan belajar peserta didik itu pada umumnya tertuang dalam bentuk Buku Laporan Kemajuan Belajar Siswa, yang lebih dikenal dengan istilan Rapor (untuk peserta didik pada pendidikan dasar dan pendidikan menengah), atau Kartu Hasil Studi (KHS), bagi peserta didik di lembaga pendidikan tinggi, yang selanjutnya disampaikan kepada orang tua peserta didik tersebut pada setiap catur wulan atau akhir semester.
2. Memberikan Bahan-bahan Keterangan (Data)
Setiap keputusan pendidikan harus didasarkan kepada data yang lengkap dan akurat. Dalam hubungan ini, nilai-nilai hasil belajar peserta didik yang diperoleh dari kegiatan evaluasi, adalah merupakan data yang sangat penting untuk keperluan pengambilan keputusan pendidikan dan lembaga pendidikan : apakah seorang peserta didik dapat dinyatakan tamat belajar, dapat dinyatakan naik kelas, tinggal kelas, lulus ataukah tidak lulus, dan sebagainya.
3. Memberikan Gambaran
Gambaran mengenai hasil-hasil yang telah dicapai dalam proses pembelajaran tercermin antara lain dari hasil-hasil belajar peserta didik setelah dilakukannya evaluasi hasil belajar. Dari kegiatan evaluasi hasil belajar yang telah dilakukan untuk berbagai jenis mata pelajaran misalnya, akan dapat tergambar bahwa dalam mata pelajaran tertentu (misalnya Bahasa Arab, matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam) pada umumnya kemampuan peserta didik masih sangat memprihatinkan. Sebaliknya, untuk mata pelajaran Pendidikan Moral Pancasila dan Ilmu Pengetahuan Sosial misalnya, hasil belajar siswa pada umumnya sangat menggembirakan. Gambaran tentang kualitas hasil belajar peserta didik juga diperoleh berdasar data yang berupa Nilai Ebtanas Murni (NEM), Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) dan lain-lain.
Sumber :
Sudijono, Anas. 2005. Pengantar Evaluasi Pendidikan. Jakarta : RajaGrafindo Persada.
Selasa, 17 Februari 2009
Kelebihan dan Kekurangan E-Learning
Menyadari bahwa di internet dapat ditemukan berbagai informasi dan informasi itu dapat diakses secara lebih mudah, kapan saja dan dimana saja, maka pemanfaatan internet menjadi suatu kebutuhan. Bukan itu saja, pengguna internet bisa berkomunikasi dengan pihak lain dengan cara yang sangat mudah melalui teknik e-moderating yang tersedia di internet.
Dengan mengambil contoh SMART School di Malaysia, setiap introduksi suatu teknologi pendidikan tertentu yang baru seperti pemanfaatan internet, maka ada empat hal yang perlu disiapkan, yaitu :
a. Melakukan penyesuaian kurikulum. Kurikulum sifatnya holistik di mana pengetahuan, keterampilan dan nilai (values) diintegrasikan dengan kebutuhan di era informasi ini. Kurikulumnya bersifat competency-based curriculum.
b. Melakukan variasi cara mengajar untuk mencapai dasar kompetensi yang ingin dicapai dengan bantuan komputer.
c. Melakukan penilaian dengan memanfaatkan teknologi yang ada (menggunakan komputer, online assessment system), dan
d. Menyediakan material pembelajaran seperti buku, komputer, multimedia, studio, dan lain-lain yang memadai. Materi pembelajaran yang disimpan di komputer dapat diakses dengan mudah baik oleh guru maupun siswa
Sokartawi. E-Learning untuk Pendidikan Khususnya Pendidikan Jarak-Jauh dan Aplikasinya di Indonesia. dalam Prawiradilaga, Dewi Salma dan Siregar, Eveline. 2007. Mozaik Teknologi Pendidikan. Universitas Negeri Jakarta : Kencana.
Dengan mengambil contoh SMART School di Malaysia, setiap introduksi suatu teknologi pendidikan tertentu yang baru seperti pemanfaatan internet, maka ada empat hal yang perlu disiapkan, yaitu :
a. Melakukan penyesuaian kurikulum. Kurikulum sifatnya holistik di mana pengetahuan, keterampilan dan nilai (values) diintegrasikan dengan kebutuhan di era informasi ini. Kurikulumnya bersifat competency-based curriculum.
b. Melakukan variasi cara mengajar untuk mencapai dasar kompetensi yang ingin dicapai dengan bantuan komputer.
c. Melakukan penilaian dengan memanfaatkan teknologi yang ada (menggunakan komputer, online assessment system), dan
d. Menyediakan material pembelajaran seperti buku, komputer, multimedia, studio, dan lain-lain yang memadai. Materi pembelajaran yang disimpan di komputer dapat diakses dengan mudah baik oleh guru maupun siswa
Pihak pengelola SMART School beranggapan bahwa penggunaan ICT khususnya internet bisa mendorong murid menjadi lebih aktif belajar (active learners), dimungkinkan adanya berbagai variasi yang dapat dilakukan dalam proses belajar dan mengajar, diperolehnya keterampilan yang berganda dan dicapainya efisiensi. Harian Sunday Star (30 Juni 2002) menyebut SMART School adalah contoh sekolah masa depan. Sekolah-sekolah percontohan dengan menggunakan perangkat teknologi informasi ini menjadi model yang dilaksanakan oleh berbagai negara. Di Singapura ada "Excellent School", di Thailand ada "Progressive School", di Filipina disebut "Pilot School", dan sebagainya. Di Indonesia, sekolah yang menggunakan teknologi informasi dalam proses belajar ini ternyata bisa menarik banyak siswa. Para orang tua juga cenderung mengirim anaknya ke sekolah yang demikian walaupun biayanya relatif lebih mahal dibandingkan sekolah lainnya yang tidak menggunakan teknologi informasi tersebut.
Dari berbagai pengalaman dan juga dari berbagai informasi yang tersedia di literatur, memberikan petunjuk tentang manfaat penggunaan internet, khususnya dalam pendidikan terbuka dan jarak jauh (Elangoan, 1999 ; Soekartawi, 2002 ; Mulvihil, 1997 ; Utarini, 1997), antara lain dapat disebutkan sebagai berikut :
* Tersedianya fasilitas e-moderating di mana guru dan siswa dapat berkomunikasi secara mudah melalui fasilitas internet secara reguler atau kapan saja kegiatan berkomunikasi itu dilakukan dengan tanpa dibatasi oleh jarak, tempat, dan waktu.
* Guru dan siswa dapat menggunakan bahan ajar atau petunjuk belajar yang terstruktur dan terjadwal melalui internet, sehingga keduanya bisa saling menilai sampai berapa jauh bahan ajar dipelajari.
* Siswa dapat belajar atau me-review bahan ajar setiap saat dan di mana saja kalau diperlukan mengingat bahan ajar tersimpan di komputer.
* Bila siswa memerlukan tambahan informasi yang berkaitan dengan bahan yang dipelajarinya, ia dapat melakukan akses di internet.
*Baik guru maupun siswa dapat melakukan diskusi melalui internet yang dapat diikuti dengan jumlah peserta yang banyak, sehingga menambah ilmu pengetahuan dan wawasan yang lebih luas.
* Berubahnya peran siswa dari biasanya pasif menjadi aktif.
* Relatif lebih efisien. Misalnya bagi mereka yang tinggal jauh dari perguruan tinggi atau sekolah konvensional, bagi mereka yang sibuk bekerja, bagi mereka yang bertugas di kapal, di luar negeri, dan sebagainya.
Walaupun demikan pemanfaatan internet untuk pembelajaran atau e-learning juga tidak terlepas dari berbagai kekurangan. Berbagai kritik (Bullen, 2001 ; Beam, 1997), antara lain dapat disebutkan sebagai berikut :
* Kurangnya interaksi antara guru dan siswa atau bahkan antar-siswa itu sendiri. Kurangnya interaksi ini bisa memperlambat terbentuknya values dalam proses belajar dan mengajar.
* Kecenderungan mengabaikan aspek akademik atau aspek sosial dan sebaliknya mendorong tumbuhnya aspek bisnis / komersial.
* Berubahnya peran guru dari semula menguasai teknik pembelajaran konvensional, kini juga dituntut mengetahui teknik pembelajaran yang menggunakan ICT.
* Siswa yang tidak mempunyai motivasi belajar yang tinggi cenderung gagal.
* Tidak semua tempat tersedia fasilitas internet (mungkin hal ini berkaitan dengan masalah tersedianya listrik, telepon, ataupun komputer)
* Kurangnya mereka yang mengetahui dan memiliki keterampilan soal-soal internet, dan
* Kurangnya penguasaan bahasa komputer.
Sumber :Sokartawi. E-Learning untuk Pendidikan Khususnya Pendidikan Jarak-Jauh dan Aplikasinya di Indonesia. dalam Prawiradilaga, Dewi Salma dan Siregar, Eveline. 2007. Mozaik Teknologi Pendidikan. Universitas Negeri Jakarta : Kencana.
Minggu, 08 Februari 2009
Kegunaan Media Komunikasi dalam Pembelajaran
Selain untuk menyajikan pesan, sebenarnya ada beberapa fungsi lain yang dapat dilakukan oleh media. Namun jarang sekali ditemukan seluruh fungsi tersebut dipenuhi oleh media komunikasi dalam suatu sistem pembelajaran. Sebaliknya suatu program media tunggal sering kali dapat mencakup beberapa fungsi sekaligus secara simultan. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :
1. Memberikan pengetahuan tentang tujuan belajar
Pada permulaan pembelajaran, siswa perlu diberi tahu tentang pengetahuan yang akan diperolehnya atau keterampilan yang akan dipelajarinya. Kepada siswa harus dipertunjukkan apa yang diharapkan darinya, apa yang harus dapat ia lakukan untuk menunjukkan bahwa ia telah menguasai bahan pelajaran dan tingkat kemahiran yang diharapkan. Untuk pembelajaran dalam kawasan perilaku psikomotor atau kognitif, media visual khususnya yang menampilkan gerak dapat mempertunjukkan kinerja (performance) yang harus dipelajari siswa. Dengan demikian dapat menjadi model perilaku yang diharapkan dapat dipertunjuukannya pada akhir pembelajaran.
2. Memotivasi siswa
Salah satu peran umum dari media komunikasi adalah memotivasi siswa. Tanpa motivasi, sangat mungkin pembelajaran tidak menghasilkan belajar. Usaha untuk memotivasi siswa sering kali dilakukan dengan menggambarkan sejelas mungkin keadaan di masa depan, di mana siswa perlu menggunakan pengetahuan yang telah diperolehnya. Jiak siswa menjadi yakin tentang relevansi pembelajaran dengan kebutuhannya di masa depan, ia akan termotivasi mengikuti pembelajaran. Media yang sesuai untuk menggambarkan keadaan masa depan adalah media yang dapat menunjukkan (show) sesuatu atau menceritakan (tell) hal tersebut. Bila teknik bermain peran digunakan (seperti lawak atau drama), pengalaman yang dirasakan siswa akan lebih kuat. Film juga sering kali diproduksi dan digunakan untuk tujuan motivasi dengan cara yang lebih alami.
3. Menyajikan informasi
Dalam sistem pembelajaran yang besar yang terdiri dari beberapa kelompok dengan kurikulum yang sama, media seperti film dan televisi dapat digunakan untuk menyajikan informasi. Guru kelas bebas dari tugas mempersiapkan dan menyajikan pelajaran, ia dapat menggunakan energinya kepada fungsi-fungsi yang lain seperti merencanakan kegiatan siswa, mendiagnosa masalah siswa, memberikan konseling secara individual. Ada tiga jenis variasi penyajian informasi :
(a) penyajian dasar (basic), membawa siswa kepada pengenalan pertama terhadap materi pembelajaran, kemudian dilanjutkan dengan diskusi, kegiatan siswa atau "review" oleh guru kelas.
(b) penyajian pelengkap (supplementary), setelah penyajian dasar dilakukan oleh guru kelas, media digunakan untuk membawa sumber-sumber tambahan ke dalam kelas, melakukan apa yang tidak dapat dilakukan di kelas dengan cara apa pun.
(c) penyajian pengayaan (enrichment), merupakan informasi yang bukan merupakan bagian dari tujuan pembelajaran, digunakan karena memiliki nilai motivasi dan dapat mencapai perubahan sikap dalam diri siswa.
4. Merangsang diskusi
Kegunaan media untuk merangsang diskusi sering kali disebut sebagai papan loncat (springboard), diambil dari bentuk penyajian yang relatif singkat kepada sekelompok siswa dan dilanjutkan dengan diskusi. Format media biasanya menyajikan masalah atau pertanyaan, sering kali melalui drama atau contoh pengalaman manusia yang spesifik. Penyajian dibiarkan terbuka (open-ended), tidak ada penarikan kesimpulan atau saran pemecahan masalah. Kesimpulan atau jawaban diharapkan muncul dari siswa sendiri dalam interaksinya dengan pemimpin atau dengan sesamanya. Penyajian media diharapkan dapat merangsang pemikiran, membuka masalah, menyajikan latar belakang informasi dan memberikan fokus diskusi. Film atau video sering kali digunakan untuk tujuan ini.
5. Mengarahkan kegiatan siswa
Pengarahan kegiatan merupakan penerapan dari metode pembelajaran yang disebut kinerja (performance) atau metode penerapan (application). Penekanan dari metode ini adalah pada kegiatan melakukan (doing). Media dapat digunakan secara singkat atau sebentar-sebentar untuk mengajak siswa mulai dan berhenti. Dengan kata lain program media digunakan untuk mengarahkan siswa melakukan kegiatan langkah demi langkah (step-by-step). Penyajian bervariasi, mulai dari pembelajaran sederhana untuk kegiatan siswa, seperti tugas pekerjaan rumah sampai pengarahan langkah demi langkah untuk percobaan laboratorium yang kompleks. Permainan merupakan metode pembelajaran yang sangat disukai khususnya bagi siswa sekolah menengah, memiliki nilai motivasional yang tinggi, melibatkan siswa lebih baik daripada metode pembelajaran yang lain.
6. Melaksanakan latihan dan ulangan
Dalam belajar keterampilan, apakah itu bersifat kognitif atau psikomotor. Pengulangan respons-respons dianggap sangat penting untuk kemajuan kecepatan dan tingkat kemahiran. Istilah "drill" digunakan untuk jenis respons yang lebih sederhana seperti menerjemahkan kata-kata asing atau mengucapkan kata-kata asing. "Practice" biasanya berhubungan dengan kegiatan yang lebih kompleks yang membutuhkan koordinasi dari beberapa keterampikan dan biasanya merupakan penerapan pengetahuan, misalnya latihan olahraga timi atau individual, memecahkan berbagai bentuk masalah. Penyajian latihan adalah proses mekanis murni dan dapat dilakukan dengan sabar dan tak kenal lelah oleh media komunikasi, khususnya oleh media yang dikelola oleh komputer. Laboratorium bahasa juga salah satu contoh media yang digunakan untuk pengulangan dan latihan.
7. Menguatkan belajar
Penguatan sering kali disamakan dengan motivasi, atau digolongkan dalam motivasi. Penguatan adalah kepuasan yang dihasilkan dari belajar, di mana cenderung meningkatkan kemungkinan siswa merespons dengan tingkah laku yang diharapkan, setelah diberikan stimulus. Penguatan paling efektif diberikan beberapa setelah saat setelah respons diberikan. Karena itu harus terintegrasi dengan fungsi media yang membangkitkan respons siswa, seperti fungsi 3, 4, 5, 6, 8. Jenis penguatan yang umum digunakan adalah pengetahuan tentang hasil (knowledge of results). Suatu program media bertanya kepada siswa, kemudian siswa meyusun jawabannya atau memilih dari beberapa kemungkinan jawaban. Setelah siswa menentukan jawaban, ia sangat termotivasi untuk segera mengetahui jawaban yang benar. Jika jawaban benar dan ia tahu, ia dikuatkan, bahkan jika jawabannya salah, evaluasi dari jawabannya, menunjukkan seberapa dekat jawabannya mendekati kebenaran, juga dapat menguatkan. Media apa pun yang dapat digunakan untuk menyajikan informasi juga mampu menyajikan pertanyaan dan merangsang siswa untuk menjawab. Media apa pun yang mampu melakukan fungsi ini, ia juga mampu memberikan jawaban benar terhadap responsnya (actions or manipulations), sehingga memberikan latihan terhadap perilaku yang kompleks yang membutuhkan lingkungan khusus. Contoh yang sering ditemui adalah simulator mobil yang digunakan dalah latihan mengendara dan simulator pesawat.
8. Memberikan pengalaman simulasi
Simulator adalah alat untuk menciptakan lingkungan buatan yang secara realistis dapat merangsang siswa dan bereaksi, seperti pelatihan pilot. Instruktur biasanya menjadi bagian dari sistem, memberikan penilaian segera dan menyelipkan kerusakan pada sistem untuk memberikan siswa latihan mengatasi masalah. Media komunikasi sering kali memegang peranan penting dalam simulasi, sejak siswa harus mengkomunikasikan informasi kepada mesin dan sebaliknya mesin meninformasikan pengguna tentang pencapaiannya. Simulator tidak terbatas pada sistem yang konkret dan "self-contained", tetapi dapat diaplikasikan pada sistem yang lebih abstrak seperti ekonomi nasional dari negara kuno, anggaran belanja sistem sekolah atau fungsi bantuan kedutaan dalam negara Afrika. Program komputer dapat memungkinkan simulasi sistem yang kompleks, menerima masukan dari siswa, menghitung hasil dan menginformasikan kepada siswa melalui media komunikasi tentang perubahan yang dilakukan dalam sistem. Jenis lain dari simulasi adalah permainan, mensimulasikan sistem yang kompetitif dengan dua atau lebih siswa atau kelompok belajar berinteraksi satu sama lain. Karena sangat mirip dengan simulator yang dapat merefleksikan kenyataan, permainan dapat mengembangkan respons yang siap ditransfer ke dunia yang sebenarnya. Bermain peran (role playing) juga merupakan bagian dari teknik simulasi yang dapat digunakan untuk mengajarkan keterampilan tentang hubungan antarmanusia. Media, biasanya film, video digunakan untuk merekam suatu pertemuan antara siswa dan seseorang yang mensimulasikan kehidupan nyata seseorang, siswa dilatih berinteraksi dengannya.
Sumber :
Sudirjo, Sudarsono dan Siregar, Eveline. Media Pembelajaran sebagai Pilihan dalam Strategi Pembelajaran. dalam Prawiradilaga, Dewi Salma dan Siregar, Eveline. 2007. Mozaik Teknologi Pendidikan. Jakarta : Universitas Negeri Jakarta.
1. Memberikan pengetahuan tentang tujuan belajar
Pada permulaan pembelajaran, siswa perlu diberi tahu tentang pengetahuan yang akan diperolehnya atau keterampilan yang akan dipelajarinya. Kepada siswa harus dipertunjukkan apa yang diharapkan darinya, apa yang harus dapat ia lakukan untuk menunjukkan bahwa ia telah menguasai bahan pelajaran dan tingkat kemahiran yang diharapkan. Untuk pembelajaran dalam kawasan perilaku psikomotor atau kognitif, media visual khususnya yang menampilkan gerak dapat mempertunjukkan kinerja (performance) yang harus dipelajari siswa. Dengan demikian dapat menjadi model perilaku yang diharapkan dapat dipertunjuukannya pada akhir pembelajaran.
2. Memotivasi siswa
Salah satu peran umum dari media komunikasi adalah memotivasi siswa. Tanpa motivasi, sangat mungkin pembelajaran tidak menghasilkan belajar. Usaha untuk memotivasi siswa sering kali dilakukan dengan menggambarkan sejelas mungkin keadaan di masa depan, di mana siswa perlu menggunakan pengetahuan yang telah diperolehnya. Jiak siswa menjadi yakin tentang relevansi pembelajaran dengan kebutuhannya di masa depan, ia akan termotivasi mengikuti pembelajaran. Media yang sesuai untuk menggambarkan keadaan masa depan adalah media yang dapat menunjukkan (show) sesuatu atau menceritakan (tell) hal tersebut. Bila teknik bermain peran digunakan (seperti lawak atau drama), pengalaman yang dirasakan siswa akan lebih kuat. Film juga sering kali diproduksi dan digunakan untuk tujuan motivasi dengan cara yang lebih alami.
3. Menyajikan informasi
Dalam sistem pembelajaran yang besar yang terdiri dari beberapa kelompok dengan kurikulum yang sama, media seperti film dan televisi dapat digunakan untuk menyajikan informasi. Guru kelas bebas dari tugas mempersiapkan dan menyajikan pelajaran, ia dapat menggunakan energinya kepada fungsi-fungsi yang lain seperti merencanakan kegiatan siswa, mendiagnosa masalah siswa, memberikan konseling secara individual. Ada tiga jenis variasi penyajian informasi :
(a) penyajian dasar (basic), membawa siswa kepada pengenalan pertama terhadap materi pembelajaran, kemudian dilanjutkan dengan diskusi, kegiatan siswa atau "review" oleh guru kelas.
(b) penyajian pelengkap (supplementary), setelah penyajian dasar dilakukan oleh guru kelas, media digunakan untuk membawa sumber-sumber tambahan ke dalam kelas, melakukan apa yang tidak dapat dilakukan di kelas dengan cara apa pun.
(c) penyajian pengayaan (enrichment), merupakan informasi yang bukan merupakan bagian dari tujuan pembelajaran, digunakan karena memiliki nilai motivasi dan dapat mencapai perubahan sikap dalam diri siswa.
4. Merangsang diskusi
Kegunaan media untuk merangsang diskusi sering kali disebut sebagai papan loncat (springboard), diambil dari bentuk penyajian yang relatif singkat kepada sekelompok siswa dan dilanjutkan dengan diskusi. Format media biasanya menyajikan masalah atau pertanyaan, sering kali melalui drama atau contoh pengalaman manusia yang spesifik. Penyajian dibiarkan terbuka (open-ended), tidak ada penarikan kesimpulan atau saran pemecahan masalah. Kesimpulan atau jawaban diharapkan muncul dari siswa sendiri dalam interaksinya dengan pemimpin atau dengan sesamanya. Penyajian media diharapkan dapat merangsang pemikiran, membuka masalah, menyajikan latar belakang informasi dan memberikan fokus diskusi. Film atau video sering kali digunakan untuk tujuan ini.
5. Mengarahkan kegiatan siswa
Pengarahan kegiatan merupakan penerapan dari metode pembelajaran yang disebut kinerja (performance) atau metode penerapan (application). Penekanan dari metode ini adalah pada kegiatan melakukan (doing). Media dapat digunakan secara singkat atau sebentar-sebentar untuk mengajak siswa mulai dan berhenti. Dengan kata lain program media digunakan untuk mengarahkan siswa melakukan kegiatan langkah demi langkah (step-by-step). Penyajian bervariasi, mulai dari pembelajaran sederhana untuk kegiatan siswa, seperti tugas pekerjaan rumah sampai pengarahan langkah demi langkah untuk percobaan laboratorium yang kompleks. Permainan merupakan metode pembelajaran yang sangat disukai khususnya bagi siswa sekolah menengah, memiliki nilai motivasional yang tinggi, melibatkan siswa lebih baik daripada metode pembelajaran yang lain.
6. Melaksanakan latihan dan ulangan
Dalam belajar keterampilan, apakah itu bersifat kognitif atau psikomotor. Pengulangan respons-respons dianggap sangat penting untuk kemajuan kecepatan dan tingkat kemahiran. Istilah "drill" digunakan untuk jenis respons yang lebih sederhana seperti menerjemahkan kata-kata asing atau mengucapkan kata-kata asing. "Practice" biasanya berhubungan dengan kegiatan yang lebih kompleks yang membutuhkan koordinasi dari beberapa keterampikan dan biasanya merupakan penerapan pengetahuan, misalnya latihan olahraga timi atau individual, memecahkan berbagai bentuk masalah. Penyajian latihan adalah proses mekanis murni dan dapat dilakukan dengan sabar dan tak kenal lelah oleh media komunikasi, khususnya oleh media yang dikelola oleh komputer. Laboratorium bahasa juga salah satu contoh media yang digunakan untuk pengulangan dan latihan.
7. Menguatkan belajar
Penguatan sering kali disamakan dengan motivasi, atau digolongkan dalam motivasi. Penguatan adalah kepuasan yang dihasilkan dari belajar, di mana cenderung meningkatkan kemungkinan siswa merespons dengan tingkah laku yang diharapkan, setelah diberikan stimulus. Penguatan paling efektif diberikan beberapa setelah saat setelah respons diberikan. Karena itu harus terintegrasi dengan fungsi media yang membangkitkan respons siswa, seperti fungsi 3, 4, 5, 6, 8. Jenis penguatan yang umum digunakan adalah pengetahuan tentang hasil (knowledge of results). Suatu program media bertanya kepada siswa, kemudian siswa meyusun jawabannya atau memilih dari beberapa kemungkinan jawaban. Setelah siswa menentukan jawaban, ia sangat termotivasi untuk segera mengetahui jawaban yang benar. Jika jawaban benar dan ia tahu, ia dikuatkan, bahkan jika jawabannya salah, evaluasi dari jawabannya, menunjukkan seberapa dekat jawabannya mendekati kebenaran, juga dapat menguatkan. Media apa pun yang dapat digunakan untuk menyajikan informasi juga mampu menyajikan pertanyaan dan merangsang siswa untuk menjawab. Media apa pun yang mampu melakukan fungsi ini, ia juga mampu memberikan jawaban benar terhadap responsnya (actions or manipulations), sehingga memberikan latihan terhadap perilaku yang kompleks yang membutuhkan lingkungan khusus. Contoh yang sering ditemui adalah simulator mobil yang digunakan dalah latihan mengendara dan simulator pesawat.
8. Memberikan pengalaman simulasi
Simulator adalah alat untuk menciptakan lingkungan buatan yang secara realistis dapat merangsang siswa dan bereaksi, seperti pelatihan pilot. Instruktur biasanya menjadi bagian dari sistem, memberikan penilaian segera dan menyelipkan kerusakan pada sistem untuk memberikan siswa latihan mengatasi masalah. Media komunikasi sering kali memegang peranan penting dalam simulasi, sejak siswa harus mengkomunikasikan informasi kepada mesin dan sebaliknya mesin meninformasikan pengguna tentang pencapaiannya. Simulator tidak terbatas pada sistem yang konkret dan "self-contained", tetapi dapat diaplikasikan pada sistem yang lebih abstrak seperti ekonomi nasional dari negara kuno, anggaran belanja sistem sekolah atau fungsi bantuan kedutaan dalam negara Afrika. Program komputer dapat memungkinkan simulasi sistem yang kompleks, menerima masukan dari siswa, menghitung hasil dan menginformasikan kepada siswa melalui media komunikasi tentang perubahan yang dilakukan dalam sistem. Jenis lain dari simulasi adalah permainan, mensimulasikan sistem yang kompetitif dengan dua atau lebih siswa atau kelompok belajar berinteraksi satu sama lain. Karena sangat mirip dengan simulator yang dapat merefleksikan kenyataan, permainan dapat mengembangkan respons yang siap ditransfer ke dunia yang sebenarnya. Bermain peran (role playing) juga merupakan bagian dari teknik simulasi yang dapat digunakan untuk mengajarkan keterampilan tentang hubungan antarmanusia. Media, biasanya film, video digunakan untuk merekam suatu pertemuan antara siswa dan seseorang yang mensimulasikan kehidupan nyata seseorang, siswa dilatih berinteraksi dengannya.
Sumber :
Sudirjo, Sudarsono dan Siregar, Eveline. Media Pembelajaran sebagai Pilihan dalam Strategi Pembelajaran. dalam Prawiradilaga, Dewi Salma dan Siregar, Eveline. 2007. Mozaik Teknologi Pendidikan. Jakarta : Universitas Negeri Jakarta.
Jumat, 06 Februari 2009
AL-KHUYANDI : Teori Matematikanya "Mengilhami" Teorema Fermat yang Mengguncang Dunia
Bulan juni 1993, media-media cetak dan elektronika sempat gonjang-ganjing. Dunia ilmu pengetahuan gempar berat. Dan kegemparan itu berpangkal pada Prof. Dr. Andrew Wiles seorang matematikawan muda (40 tahun) yang ahli teori bilangan dari Universitas Priceton AS yang dinilai sukses besar dalam membuktikan dan memecahkan teka-teki teori terakhir Fermat yang telah berusia 356 tahun - setelah menyuntuki selama kurang lebih 5 tahun.
Dalam wujud kalimat, teorema atau dalim itu berbunyi : "jika x, y, dan z masing-masing merupakan bilangan bulat positif, maka x berpangkat n ditambah y berpangkat n mustahil akan menghasilkan z berpangkat n, keculai bila n berupa bilangan bulat dan maksimal sama dengan dua". (yang dimaksud bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya. Jadi bukan pecahan seperti 0,2 atau 0,3 atau 1/2, 1/4 dan semacamnya).
Sedang dalam bentuk persamaan dapat ditulis :
, untuk n > 2
Tapi, jika n = 2 maka akan sama persis dengan persamaan dari teorema Phytagoras yang sudah jamak bagi siswa sekolah menengah atau santri madrasah.
"Teka-teki" teori Fermat baru muncul jika n > 2
misalkan n = 3 maka 4^3 + 3^3 tak sama dengan 5^3 sebab 64 + 27 = 91 sedangkan 5^3 itu sendiri adalah 125. Dengan kata lain 91 bukanlah 5^3.
Jadi teori tersebut sangatlah benar. Yang payah ialah membuktikan kebenarannya itu. Cobalah umpamanya mencari bilangan z yang bulat untuk persamaan-persamaan dengan n > 2 berikut :
2^3 + 3^3 = z^3, maka z = ?
1^4 + 2^4 = z^4, maka z = ?
puyeng, saking sulitnya !
Teka-teki besar yang berusia 3 abad lebih inilah yang kabarnya telah mampu dibuktikan oleh Prof. Dr. Wiles pada tahun 1993 lalu, dan sebelumnya oleh pendekar matematika negeri Nippon, Yutaka Taniyama pada 1954 - walau secara tidak langsung.
Lantas apa kaitannya dengan Al-Khuyandi yang hidup sekitar 700 tahun sebelum lahirnya Pierre De Fermat, pencetus teori tersebut ?.
Ilmuwan legendaris Al-Biruni dalam "Tahdid Nihayat Al Amakin" dalam RIMA viii (1962) mengakui dan menyanjung-nyanjung Khuyandi sebagai cendekiawan yang "Awhad Zamanihi" (tiada tandingan dan tiada bandingan di masanya) terutama di bidang konstruksi aneka rupa peralatan astrolabe dan peralatan astronomis lain. Sejumlah manuskrip yang telah diabadikan dari risalahnya "Fi'amal al-Ala al-Amma" mendeskripsikan suatu instrumen universal yang disebut "al-Ala al-Amma" atau "al-Shamila". Ini biasanya digunakan sebagai pengganti asrolabe atau quadrant-alat berbentuk seperempat lingkaran. Astronom dan matematikawan spesialis geometri ini pintar pula merencang bangun sebuah sfera perlengkapan militer dan perlengkapan lain. Untuk merekayasa semua instrumen tersebut tentunya Al-Khuyandi telah habis-habisan berkubang dalam berbagai masalah teoritis bidang-bidang terkait, termasuklah umpamanya yang menyangkut tata letak rancangan sebuah astrolabe.
Dari eksperimen-eksperimen itulah Khuyandi berhasil pula menemukan setidak-tidaknya 2 metode seperti yang digunakan Abu Nasr Mansur, untuk menentukan posisi dan lingkaran-lingkaran dari azimut pada astolabe melalui titik potong atau persimpangan antara khatulistiwa (equator) dan mukantarat (risala fi mujazat dawa'ir al-Sumut fi'l Asturlab' dalam "rasa'il ila al-Biruni", Hyderabad 1948).
Karya terpenting Khuyandi dalam sfera instrumen-instrumen astronomis adalah sekstan yang disebut "al-Suda al-Fakhri" (dipersembahkan khusus kepada Fakhr al-Dawla) yang dirancang untuk menentukan kemiringan ekliptik. Peralatan tersebut dan bermacam observasi yang dilakukan dengan memakai instrumen itu dilukiskannya dalam buku "risala fi'il mayl wa 'ard al-balad" (editor L.Cheikho, dalam "Machriq", 1908).
Al-Biruni sendiri memberikan analisis terinci tentang ini dalam kitabnya "tahdid" yang dianggap dilandaskan pada "makalah fi tashih al-mayl" karangan Khuyandi (mungkin diidentikkan dengan "risala fi'l mayl" yang dikutip di atas).
Sekstan tersebut memiliki diameter 40 dhira' atau cubit (1 cubit kira-kira sama dengan 18-22 inchi), sedang sekstannya al-Biruni beridiameter 80 cubit. Dibuatnya di Tabruk dekat Rayy serta diselaraskan dengan perencanaan untuk menentukan meridian (garis bujur); dikelilingi dengan dinding-dinding dan bagian atasnya dilingkupi semacam atap dan dibagian tertentu terdapat semacam kubah atau kolong dengan sebuah celah bergaris tengah 3 shibr (= jengkal) berada persis di pusat sekstan. Alat ini dapat digunakan untuk mengukur cahaya matahari, melalui proses pemantulan cahaya matahari yang kemudian terlempar masuk ke dalam bolongan bulat pada sekstan tersebut. Dan untuk menentukan pusatnya, Khuyandi menggunakan sebuah lingkaran yang berjari-jari sama dengan 2 diameter yang tegak lurus dan ditempatkan dilingkaran tersebug sehingga dapat diterpa cahaya.
Intelektual yang gegap gempita dengan prestasi besar ini menekankan dan mengklaim bahwa sekstan merupakan hasil temuannya dan dengan itu, katanya, "Aku dapat membuat perhitungan-perhitungan hingga ke atom-atom terkecilnya". Instrumen serupa tampaknya telah digunakan pula dalam observatori-observatori di Maragha (didirikan sebelum tahun 660/1261 - 1262) dan di Samarkand (ditegakkan pada 823/1420).
Dengan "Suds al-Fakhri" ini, Khuyandi mengamati ketinggian meridian dititik balik matahari (soltice) musim kemarau dan dititik balik matahari musim dingin tahun 384/994. Prosedurnya meliputi kegiatan observasi-observasi selama 2 hari berturut-turut pada saat titik balik matahari dan dalam pemetaan, momentum yang tepat lewat matahari masuk ke titik baliknya. Semua ini dapat dilaksanakan sekitar bulan juni, namun observasi ulangan dengan prosedur sama, yang dilakukan di bulan desember mengalami hambatan oleh awan sehingga ketepatan dan keseksamaan seluruh observasi turut berpengaruh. Observasi-observasi tersebut dilakukan di bawah bimbingan dan pengawasan sekelompok intelektual peneliti senior, termasuk dalam hal penggarapan laporan-laporannya. Hasil nya adalah sigma = 23 derajat 32 menit 19 detik (sedang versi al-Biruni dalam "al-Kanun Al Mas'udi", Hyderabad 1954, adalah sigma = 23 derajat 32 menit 21 detik, terpaut 2 detik). Hasil tersebut jika diperbandingkan dengan pengamatan astronom-astronom india (24 derajat) dan Ptolemy (23 derajat 51 menit) akan semakin mengokohkan justifikasi pada keyakinan Khuyandi dalam masalah reduksi progresif pada kemiringan ekliptika. Al-Biruni sendiri percaya bahwa harga sigma itu konstan (dalam "Tahdid" dan "Kanun") menegaskan bahwa Khuyandi mengatakan kepadanya bahwa celah kolong yang dimasuki berkas cahaya matahari itu telah dipindahkan ke sebelah bawah sekitar sejengkal sebelum dilaksanakan observasi-observasi mengenai titik balik matahari musim dingin. Sehingga dengan demikian ia tidaklah tepat benar dengan pusat sekstan. Fakta ini dapat menjelaskan tentang berkurangnya harga sigma pada penentuan-penentuan lain yang dilakukan secara kasar di waktu-waktu yang sama.
Selain itu, Khuyandi melancarkan pula serentetan observasi ilmiah lain semisal menentukan garis lintang kota Rayy pada 35 derajat 34 menit 39 detik, disamping menegaskan bahwa ia juga telah mengobservasi planet-planet untuk (dipersembahkan hasilnya kepada) Fakhr al-Dawla dengan menggunakan sfera-sfera untuk keperluan kemiliteran dan peralatan astronomi lain.
Hasil akhir dari penelitian tersebut dikompilasi dalam sebuah buku bertajuk "al-Zij al-Fakhri". Selain itu, sebuah salinan dari sebuah "Zij" berbahasa Persia, diabadikan dalam Majlis Library di Teheran Iran, diduga didasarkan pada observasi-observasi ilmiah al-Khuyandi. Periode yang tercantum pada tabel-tabel pergerakan-pergerakan rerata itu adalah 600 tahun dari era Yazdagirdi, atau seputar 2 abad setelah kemangkatan al-Khuyandi (lihat E.S. Kennedy, "A Surve 0f Islamic Astronomical Tables", sebuah survey perihal tabel-tabel astronomi islam, 1956).
Nama resmi ilmuwan asal Khuyand Transoxania ini adalah Abu Mahmud Hamid bin al-Khidr al-Khuyandi. ia hidup di masa pemerintahan Buwayhid Fakhr al-Dawla (366-387/976 - 997) dan wafat ditahun 390/1000 dengan mewariskan sejumlah karya ilmiah dibidang astronomi dan matematika, khususnya geometri.
Di antara begitu banyak karya matematikanya, yang pada umunya telah menguap entah ke mana, sebagian masih bisa dijumpai di Kairo yaitu dalam wujud manuskrip dari sebuah risala tentang geometri. Dan perhatian utamanya difokuskan khusus pada resolusi atau penguraian persamaan-persamaan berpangkat 3 dengan metode-metode geometri. Dari kekhusyuan mengkaji dan ketekunannya menelaah ia berhasil menciptakan satu rumusan atau dalil atau teorema yang berbunyi bahwa "jumlah dua bilangan berpangkat 3 tak akan membuahkan bilangan berpangkat 3 lainnya" (The sum of two cubed numbers cannot be another cube).
Kendati bunyi kalimat kedua teorema tersebut (versi Fermat dan versi Khuyandi) tampak berbeda namun jika dicermati baik-baik, apalagi kalau disertai dengan elaborasi intelektual yang memadai maka akan terasa adanya nuansa kemiripan. Atau mungkin, dengan kalimat yang bijaksana dapat dikatakan bahwa teori Fermat tersebut bukanlah gagasan murni Pierre De Fermat melainkan merupakan pengembangan berantai dari ide atau teorem al-Khuyandi yang telah berumur kurang lebih 1000 tahun itu. Atau paling tidak, Khuyandi memiliki saham utama bagi munculnya teka-teki teori Fermat. Perlu pula diingatkan bahwa dalil tersebut ditulis Fermat hanya dalam bentuk catatan-catatan lepas di tepi halaman bukunya. Lalu menyebutkan bahwa ia telah menemukan bukti-buktinya - namun tidak dituliskannya, dengan alasan kekurangan tempat di halaman buku tersbut.
Di samping teori itu, Khuyandi pun terbilang penemu "Kaidah Sinus" yang diistilakannya sebagai "Kaidah Astronomis".
Nasir al-Din al-Tusi dalam "kitan Shakl al-Katta", Istambul 1891 menegaskan bahwa Abu'l Wafa' al-Buzajani, Abu Nasr Mansur bin Ali bin Irak dan al-Khuyandi merupakan 3 serangkai penulis yang memiliki peran dan jasa besar dalam penemuan "Kaidah Sinus", (atau "Kaidah Astronomis" (Kanun al-Hay'a menurut istilah Khuyandi, lantaran kerapnya digunakan dalam astronomi)). Meskipun demikian, P.Luckey dalam salah satu bukunya, pada prinsipnya menolak pera al-Khuyandi dengan alasan bahwa ia adalah "intelektual lapangan". Kendati karyanya merupakan karya-karya unggulan yang menghentak emosi namun dia lebih sibuk bergerak di ladang astronomis praktis.
Sumber :
Arsyad, Natsir. 2000. Cendekiawan Muslim dari Khalili sampai Habibie. Jakarta : RajaGrafindo Persada.
Dalam wujud kalimat, teorema atau dalim itu berbunyi : "jika x, y, dan z masing-masing merupakan bilangan bulat positif, maka x berpangkat n ditambah y berpangkat n mustahil akan menghasilkan z berpangkat n, keculai bila n berupa bilangan bulat dan maksimal sama dengan dua". (yang dimaksud bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya. Jadi bukan pecahan seperti 0,2 atau 0,3 atau 1/2, 1/4 dan semacamnya).
Sedang dalam bentuk persamaan dapat ditulis :
, untuk n > 2Tapi, jika n = 2 maka akan sama persis dengan persamaan dari teorema Phytagoras yang sudah jamak bagi siswa sekolah menengah atau santri madrasah.
"Teka-teki" teori Fermat baru muncul jika n > 2
misalkan n = 3 maka 4^3 + 3^3 tak sama dengan 5^3 sebab 64 + 27 = 91 sedangkan 5^3 itu sendiri adalah 125. Dengan kata lain 91 bukanlah 5^3.
Jadi teori tersebut sangatlah benar. Yang payah ialah membuktikan kebenarannya itu. Cobalah umpamanya mencari bilangan z yang bulat untuk persamaan-persamaan dengan n > 2 berikut :
2^3 + 3^3 = z^3, maka z = ?
1^4 + 2^4 = z^4, maka z = ?
puyeng, saking sulitnya !
Teka-teki besar yang berusia 3 abad lebih inilah yang kabarnya telah mampu dibuktikan oleh Prof. Dr. Wiles pada tahun 1993 lalu, dan sebelumnya oleh pendekar matematika negeri Nippon, Yutaka Taniyama pada 1954 - walau secara tidak langsung.
Lantas apa kaitannya dengan Al-Khuyandi yang hidup sekitar 700 tahun sebelum lahirnya Pierre De Fermat, pencetus teori tersebut ?.
Ilmuwan legendaris Al-Biruni dalam "Tahdid Nihayat Al Amakin" dalam RIMA viii (1962) mengakui dan menyanjung-nyanjung Khuyandi sebagai cendekiawan yang "Awhad Zamanihi" (tiada tandingan dan tiada bandingan di masanya) terutama di bidang konstruksi aneka rupa peralatan astrolabe dan peralatan astronomis lain. Sejumlah manuskrip yang telah diabadikan dari risalahnya "Fi'amal al-Ala al-Amma" mendeskripsikan suatu instrumen universal yang disebut "al-Ala al-Amma" atau "al-Shamila". Ini biasanya digunakan sebagai pengganti asrolabe atau quadrant-alat berbentuk seperempat lingkaran. Astronom dan matematikawan spesialis geometri ini pintar pula merencang bangun sebuah sfera perlengkapan militer dan perlengkapan lain. Untuk merekayasa semua instrumen tersebut tentunya Al-Khuyandi telah habis-habisan berkubang dalam berbagai masalah teoritis bidang-bidang terkait, termasuklah umpamanya yang menyangkut tata letak rancangan sebuah astrolabe.
Dari eksperimen-eksperimen itulah Khuyandi berhasil pula menemukan setidak-tidaknya 2 metode seperti yang digunakan Abu Nasr Mansur, untuk menentukan posisi dan lingkaran-lingkaran dari azimut pada astolabe melalui titik potong atau persimpangan antara khatulistiwa (equator) dan mukantarat (risala fi mujazat dawa'ir al-Sumut fi'l Asturlab' dalam "rasa'il ila al-Biruni", Hyderabad 1948).
Karya terpenting Khuyandi dalam sfera instrumen-instrumen astronomis adalah sekstan yang disebut "al-Suda al-Fakhri" (dipersembahkan khusus kepada Fakhr al-Dawla) yang dirancang untuk menentukan kemiringan ekliptik. Peralatan tersebut dan bermacam observasi yang dilakukan dengan memakai instrumen itu dilukiskannya dalam buku "risala fi'il mayl wa 'ard al-balad" (editor L.Cheikho, dalam "Machriq", 1908).
Al-Biruni sendiri memberikan analisis terinci tentang ini dalam kitabnya "tahdid" yang dianggap dilandaskan pada "makalah fi tashih al-mayl" karangan Khuyandi (mungkin diidentikkan dengan "risala fi'l mayl" yang dikutip di atas).
Sekstan tersebut memiliki diameter 40 dhira' atau cubit (1 cubit kira-kira sama dengan 18-22 inchi), sedang sekstannya al-Biruni beridiameter 80 cubit. Dibuatnya di Tabruk dekat Rayy serta diselaraskan dengan perencanaan untuk menentukan meridian (garis bujur); dikelilingi dengan dinding-dinding dan bagian atasnya dilingkupi semacam atap dan dibagian tertentu terdapat semacam kubah atau kolong dengan sebuah celah bergaris tengah 3 shibr (= jengkal) berada persis di pusat sekstan. Alat ini dapat digunakan untuk mengukur cahaya matahari, melalui proses pemantulan cahaya matahari yang kemudian terlempar masuk ke dalam bolongan bulat pada sekstan tersebut. Dan untuk menentukan pusatnya, Khuyandi menggunakan sebuah lingkaran yang berjari-jari sama dengan 2 diameter yang tegak lurus dan ditempatkan dilingkaran tersebug sehingga dapat diterpa cahaya.
Intelektual yang gegap gempita dengan prestasi besar ini menekankan dan mengklaim bahwa sekstan merupakan hasil temuannya dan dengan itu, katanya, "Aku dapat membuat perhitungan-perhitungan hingga ke atom-atom terkecilnya". Instrumen serupa tampaknya telah digunakan pula dalam observatori-observatori di Maragha (didirikan sebelum tahun 660/1261 - 1262) dan di Samarkand (ditegakkan pada 823/1420).
Dengan "Suds al-Fakhri" ini, Khuyandi mengamati ketinggian meridian dititik balik matahari (soltice) musim kemarau dan dititik balik matahari musim dingin tahun 384/994. Prosedurnya meliputi kegiatan observasi-observasi selama 2 hari berturut-turut pada saat titik balik matahari dan dalam pemetaan, momentum yang tepat lewat matahari masuk ke titik baliknya. Semua ini dapat dilaksanakan sekitar bulan juni, namun observasi ulangan dengan prosedur sama, yang dilakukan di bulan desember mengalami hambatan oleh awan sehingga ketepatan dan keseksamaan seluruh observasi turut berpengaruh. Observasi-observasi tersebut dilakukan di bawah bimbingan dan pengawasan sekelompok intelektual peneliti senior, termasuk dalam hal penggarapan laporan-laporannya. Hasil nya adalah sigma = 23 derajat 32 menit 19 detik (sedang versi al-Biruni dalam "al-Kanun Al Mas'udi", Hyderabad 1954, adalah sigma = 23 derajat 32 menit 21 detik, terpaut 2 detik). Hasil tersebut jika diperbandingkan dengan pengamatan astronom-astronom india (24 derajat) dan Ptolemy (23 derajat 51 menit) akan semakin mengokohkan justifikasi pada keyakinan Khuyandi dalam masalah reduksi progresif pada kemiringan ekliptika. Al-Biruni sendiri percaya bahwa harga sigma itu konstan (dalam "Tahdid" dan "Kanun") menegaskan bahwa Khuyandi mengatakan kepadanya bahwa celah kolong yang dimasuki berkas cahaya matahari itu telah dipindahkan ke sebelah bawah sekitar sejengkal sebelum dilaksanakan observasi-observasi mengenai titik balik matahari musim dingin. Sehingga dengan demikian ia tidaklah tepat benar dengan pusat sekstan. Fakta ini dapat menjelaskan tentang berkurangnya harga sigma pada penentuan-penentuan lain yang dilakukan secara kasar di waktu-waktu yang sama.
Selain itu, Khuyandi melancarkan pula serentetan observasi ilmiah lain semisal menentukan garis lintang kota Rayy pada 35 derajat 34 menit 39 detik, disamping menegaskan bahwa ia juga telah mengobservasi planet-planet untuk (dipersembahkan hasilnya kepada) Fakhr al-Dawla dengan menggunakan sfera-sfera untuk keperluan kemiliteran dan peralatan astronomi lain.
Hasil akhir dari penelitian tersebut dikompilasi dalam sebuah buku bertajuk "al-Zij al-Fakhri". Selain itu, sebuah salinan dari sebuah "Zij" berbahasa Persia, diabadikan dalam Majlis Library di Teheran Iran, diduga didasarkan pada observasi-observasi ilmiah al-Khuyandi. Periode yang tercantum pada tabel-tabel pergerakan-pergerakan rerata itu adalah 600 tahun dari era Yazdagirdi, atau seputar 2 abad setelah kemangkatan al-Khuyandi (lihat E.S. Kennedy, "A Surve 0f Islamic Astronomical Tables", sebuah survey perihal tabel-tabel astronomi islam, 1956).
Nama resmi ilmuwan asal Khuyand Transoxania ini adalah Abu Mahmud Hamid bin al-Khidr al-Khuyandi. ia hidup di masa pemerintahan Buwayhid Fakhr al-Dawla (366-387/976 - 997) dan wafat ditahun 390/1000 dengan mewariskan sejumlah karya ilmiah dibidang astronomi dan matematika, khususnya geometri.
Di antara begitu banyak karya matematikanya, yang pada umunya telah menguap entah ke mana, sebagian masih bisa dijumpai di Kairo yaitu dalam wujud manuskrip dari sebuah risala tentang geometri. Dan perhatian utamanya difokuskan khusus pada resolusi atau penguraian persamaan-persamaan berpangkat 3 dengan metode-metode geometri. Dari kekhusyuan mengkaji dan ketekunannya menelaah ia berhasil menciptakan satu rumusan atau dalil atau teorema yang berbunyi bahwa "jumlah dua bilangan berpangkat 3 tak akan membuahkan bilangan berpangkat 3 lainnya" (The sum of two cubed numbers cannot be another cube).
Kendati bunyi kalimat kedua teorema tersebut (versi Fermat dan versi Khuyandi) tampak berbeda namun jika dicermati baik-baik, apalagi kalau disertai dengan elaborasi intelektual yang memadai maka akan terasa adanya nuansa kemiripan. Atau mungkin, dengan kalimat yang bijaksana dapat dikatakan bahwa teori Fermat tersebut bukanlah gagasan murni Pierre De Fermat melainkan merupakan pengembangan berantai dari ide atau teorem al-Khuyandi yang telah berumur kurang lebih 1000 tahun itu. Atau paling tidak, Khuyandi memiliki saham utama bagi munculnya teka-teki teori Fermat. Perlu pula diingatkan bahwa dalil tersebut ditulis Fermat hanya dalam bentuk catatan-catatan lepas di tepi halaman bukunya. Lalu menyebutkan bahwa ia telah menemukan bukti-buktinya - namun tidak dituliskannya, dengan alasan kekurangan tempat di halaman buku tersbut.
Di samping teori itu, Khuyandi pun terbilang penemu "Kaidah Sinus" yang diistilakannya sebagai "Kaidah Astronomis".
Nasir al-Din al-Tusi dalam "kitan Shakl al-Katta", Istambul 1891 menegaskan bahwa Abu'l Wafa' al-Buzajani, Abu Nasr Mansur bin Ali bin Irak dan al-Khuyandi merupakan 3 serangkai penulis yang memiliki peran dan jasa besar dalam penemuan "Kaidah Sinus", (atau "Kaidah Astronomis" (Kanun al-Hay'a menurut istilah Khuyandi, lantaran kerapnya digunakan dalam astronomi)). Meskipun demikian, P.Luckey dalam salah satu bukunya, pada prinsipnya menolak pera al-Khuyandi dengan alasan bahwa ia adalah "intelektual lapangan". Kendati karyanya merupakan karya-karya unggulan yang menghentak emosi namun dia lebih sibuk bergerak di ladang astronomis praktis.
Sumber :
Arsyad, Natsir. 2000. Cendekiawan Muslim dari Khalili sampai Habibie. Jakarta : RajaGrafindo Persada.
Langganan:
Postingan (Atom)