RUANG LINEAR ABSTRAK

Geometri kartesius, diperkenalkan oleh Fermat dan Des Cartes sekitar tahun 1936, mempunyai pengaruh yang sangat besar dalam dunia Matematika terutama dalam mentransformasi metode aljabar ke geometri. Pada pertengahan abad 19 terjadi suatu ketidakpuasan dengan metode koordinat dan orang-orang mulai mencari metode langsung, seperti metode geometri sintetis yang mana menggunakan koordinat bebas.

Hal ini memungkinkan untuk menelusuri kembali permulaan dari konsep vector pada awal abad 19 dengan menggunakan karya Bolzano. Pada 1804, Bolzano mempublikasikan hasil kerjanya mengenai penemuan geometri elementary “Betrachtrungen Uber Einige Gegenstande der Elementar Geometrie”. Bolzano dalam bukunya menganggap bahwa titik, garis, dan bidang tidak didefinisikan sebagai elemen tetapi melainkan didefinisikan sebagai bentuk operasi. Hal ini merupakan langkah yang sangat penting dalam mengaksiomakan geometri dan merupakan langkah awal yang dibutuhkan dalam pengabstraksian konsep ruang linear.

Perpindahan dari geometri koordinat tersebut merupakan tujuan utama dari usaha Pencelet dan Chasles yang merupakan penemu geometri sintetik. Perkembangan dalam analisis ini bergerak bersamaan dari ruang objek konkrit, seperti ruang barisan, menuju ke ruang linear abstrak. Sebagai penggantinya untuk pendefinisian matrik, operator linear abstrak harus didefinisikan dalam ruang linear abstrak.

Pada 1827 Mobius mempublikasikan Der Barycentische Calcul yaitu buku geometri yang mempelajari transformasi dan conic. Keutamaan dari buku ini adalah pengenalan koordinat Barychentric. Buatlah segitiga ABC, jika a, b, c diletakkan di A, B, C secara berurutan dan titik P sebagai pusat gravitasi. Mobius menunjukkan bahwa setiap titik P dalam bidang tersebut ditentukan oleh koordinat homogen [a, b, c], ukuran berat yang dikehendaki diletakkan di A, B, C memberikan pusta gravitasi di titik P. hal yang terpenting di sini adalah Mobius dianggap sebagai pencetus awal kemunculan vector.

Pada 1837 Mobius menerbitkan buku statistic yang mana dengan jelas, ia menyatakan idenya pada pemecahan soal vector dalam 2 sumbu khusus.

Diantara jangka waktu diterbitkannya 2 hasil karya Mobius, Bellavitis menerbitkan karta geometrinya pada 1832 yang berisi mengenai vector berjumlah banyak. Objek utamanya adalah garis AB dan ia menganggap AB dan BA sebagai 2 objek yang jelas. Ia mendefinisikan 2 garis sebagai “equipollent”, jika mereka sama. Jadi dalam notasi modern, 2 garis dinyatakan equipollent jika mereka dapat menunjukkan vector yang sama. Bellavitis mendefinisikan jumlah 2 garis yang equipollent dan kalkulus equipollent ke dalam ruang vector.

Pada 1814 Argand menggambarkan bahwa bilangan komplek sebagai titik pada bidang di mana keduanya merupakan bilangan riil. Hamilton menggambarkan bilangan komplek sebagai ruang vector 2 dimensi pada bilangan riil. Walaupun ia tidak menggunakan bentuk abstrak secara umum. Ia mengirim hasil penemuannya dalam sebuah paper ke Irish Academy 1833. ia menghabiskan lebih dari 10 tahun untuk mendefinisikan perkalian bilangan riil dalam ruang vector tiga dimensi. Quaternion Hamilton, dipublikasikan pada 1834 sebagai contoh penting dari ruang vector 4 dimensi, khusunya penelitian Tait tentang quaternion yang dipublikasikan tahun1873, dimana terdapat persaingan antara metode vector dan metode quaternion.

Pada 1857 Cayley memperkenalkan aljabar matrik, dimana hal ini sangat membantu untuk mengubah system abstrak menjadi lebih umum dengan menambahkan tipe hokum structural yang berbeda. Pada 1858 Cayley mengumumkan bahwa quaternion dapat ditunjukkan dalam matrik.

Pada 1867 Laguerre menulis surat pada Hermite Sur Le Calcul Des Sistemes Lineares. Systemes lineaires-nya adalah tabel koefisien system persamaan linear yang ditunjukkan dengan huruf besar tunggal, dan Laguerte mendefinisikan penambahan, pembagian, dan perkalian dari system linear tersebut. Dalam karyanya Laguerte bertujuan untuk menggabungkan system aljabar seperti bilangan kompleks, quaternion Hamilton, dan gagasan yang diperkenalkan oleh Galois dan Cauchy.

Karya Laguerte dalam system linear ini diikuti oleh paper Carvalo pada 1891. dalam hal ini ia mendefinisikan operator pada fungsi vector dan melukiskan secara jelas perbedaan antara operator dan matriks.
Untuk mengetahui perbedaan antara operator dan matriks ini cukup dengan mengatakan bahwa jika seseorang merubah system koordinat, seseorang itu akan mendapatkan matriks yang berbeda untuk menunjukkan fungsi vector yang sama dan dengan operasi yang sama pula.

Ahli Matematika lainnya yang bergerak dalam bidang geometri tanpa koordinat adalag Grassmann. Hasil kerjanya memang berkualitas tinggi dan asli, tetapi koordinat Barycentris yang diperkenalkan oleh Mobius adalah motivasi utamanya. Kontribusi Grassmann, Die Ausdehnugshlere, dimunculkan dalam berbagai versi yang berbeda. Yang pertama pada 1844 tapi versi ini sulit dibaca dan jelas-jelas tidak berhubungan dengan matematikawan, jadi Grassmann berusaha memproduksi versi yang dapat dibaca yang muncul pada 1862. Clebch terinspirasi Grassmann dalam versi tertentu.
Grassmann belajar aljabar yang elemennya tidak dispesifikasi, begitu juga dengan kuantitas abstrak. Ia memperhitungkan system elemen yang ia artikan sebagai operasi formal terhadap penambahan, perkalian scalar dan perkalian. Ia mulai dengan elemen tak terdefinisi yang biasa disebut dengan “simple quantities” dan menghasilkan aturan penggunaan kuantitas yang lebih komplek secara khusus.
Tapi… lebih jauh, karena saya menyebut hal ini tidak hanya sekedar kuantitas melainkan kuantitas sederhana. Ada kuantitas lain yang mempunyai kuantitas gabungan pada diri mereka sendiri dan karakter yang mempunyai hubungan yang jelas antara satu sama lainnya seperti karakteristik kuantitas sederhana yang beda satu sama lainnya. Kuantitas ini terjadi melalui penambahan bentuk tinggi.

 Hasil karyanya berisikan aturan-aturan yang terkenal dalam ruang vector, karena ia juga mempunyai definisi perkalian, strukturnya memenuhi sifat/ciri-ciri yang sekarang ini lebih dikenal dengan aljabar. Struktur yang tepat untuk sekarang ini dikenal dengan sebutan Aljabar Grassmann. Elemen himpunan linear bergantung dan tidak bergantung, jelas-jelas merupakan hasil karya Grassmann dalam dimensi (walaupun ia tidak menggunakan istilah itu). Hasil skalar juga muncul pada karya Grassmann di tahun 1844.

Pandangan Grassmann 1862 dalam Die Ausdehnungslehre mempunyai kata pengantar yang panjang dimana ia memberi ringkasan atas teorinya. Dalam kata pengantarnya ini ia juga membela pada metode formal yang mana mempunyai kejelasannya telah diuji oleh beberapa matematikawan. Grassmann pun dinyatakan bahwa ia adalah pencipta teori Axiomatis dan hal ini menunjukkan bahwa ia sangat hebat di jamannya.

Cauchy dan Saint Venant mempunyai beberapa klaim mengenai penemuan sistem yang sama terhadap Grassmann. Klaim Saint Venant cukup beralasan karena ia mempublikasikan karyanya 1845 yang mana ia mengalihkan garis dengan cara yang sama seperti Grassmann. Pada kenyataannya ketika Grassmann membaca paper Saint Venant, ia sadar bahwa Saint Venant tidak membaca hasil karyanya 1844 dan mengirim dua kopian yang sama pada Cauchy, meminta padanya untuk menyampaikan kopian pada Saint Venant.

Cauchy pada 1853 mempublikasikan Sur les clefs algerique di Computes Rendus yang menggambarkan metode simbol secara formal, metode ini serupa/mirip dengan metode Grassmann (tetapi tidak berdasarkan referensi Grassmann). Grassmann mengadukan pada akademik bahwa hasil karyanya diambil Cauchy. Dan pada 1854, komite mengadakan penyelidikan mengenai siapa yang lebih berhak.

Pertama-tama yang meneliti keutamaan hasil karya Grassmann adalah Hankel. Pada 1867 ia menulis paper mengenai Theori Der Complexen Zahlensisteme yang menyoroti sistem formal yang merupakan kombinasi antara simbol-simbol yang didefinisikan secara abstrak. Ia menyanjung Die Ausdehnungslehre-nya Grassmann yang telah memberikan pondasi yang kuat atas kerjanya.

Orang yang pertama kali memberikan definisi aksiomatis dalam ruang linear riil adalah Peeano dalam bukunya yang diterbitkan di Torino 1888. ia menyanjung Leibniz, karya Mobius tahun 1827, karya Grassmann 1844 dan Quaternions Hamilton yang telah menyediakan ide-ide yang dapat membimbingnya untuk mencetuskan kalkulus formal.

Buku Peeano pada tahun 1888, Calcolo Geometrico Secondo I’ Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preceduro dalle Operazionci Della Logica Dedettiva sangat menakjubkan. Buku ini memberikan operasi himpunan pada kalkulus dasar yang mengenalkan adanya notasi modern , ,  sebagai irisan, gabungan, dan anggota dari. Beberapa tahun yang lalu, hal ini telah ada tapi belum dapat diterima, dan kenyataan sekarang buku Peeano sepertinya mempunyai pengaruh pada tahun-tahun belakangan ini. Buku ini juga memuat pengenalan modern dalam Ruang Linear dan Aljabar Linear.

Dalam bab IX buku Peeano memberikan aksioma Ruang Linear. Ini sungguh sangat sulit untuk dipercaya bahwa Peeano menulis pada tahun 1888.
Sewajarnya hal ini ditulis pada tahun 1988, yang pertama adalah untuk persamaan elemen.
1. a = b jika dan hanya jika b = a dan b = c maka a = c
2. Jumlah 2 objek a dan b yang terdefinisi, seperti suatu objek didefinisikan dengan notasi a + b juga termasuk dalam sistem, memenuhi :
Jika a = b maka a + c = b + c, a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c dan persamaan lainnya adalah a + b + c.
3. Jika a adalah objek dan m adalah integer positif maka ma adalah jumlah dari m objek sebanyak a. Jika a = b maka ma = mb, m(a + b) = ma + mb, (m + n)a = ma + na, m(na) = mna, 1a = a.

Peeano menyatakan mengenai keberadaan dari nol dan menyatakan 0a = 0 dan a – b berarti a + (-b) dan hal ini sesuai dengan a – a = 0 dan 0 + a = a.

Peeano mendefinisikan sistem linear merupakan sistem objek yang memenuhi empat syaratnya. Lalu ia mendefinsikan objek bergantung dan objek tidak bergantung, kemudian ia mendefinisikan mengenai dimensi.
Definisi : Jumlah dimensi pada sistem linear adalah jumlah maksimal dari objek sistem linear independen.

Ia membuktikan bahwa Ruang dimensi terhingga mempunyai basis dan memberi contoh dari ruang linear dimensi tak terhingga. Peeano menganggap bahwa semua fungsi f(x) dengan variabel x, didefinisikan jumlah f1(x) dan f2(x) dan hasil dari f(x) oleh m bilangan riil. Ia mengatakan :
Jika seseorang menganggap hanya fungsi dengan pangkat n, lalu bentuk fungsi tersebut merupakan sistem linear dengan dimensi n + 1 maka semua fungsi dengan pangkat sembarang dalam bentuk sistem linear mempunyai dimensi yang terbatas.

Peeano mendefinisikan operator linear pada ruang linear, ditunjukkan dengan menggunakan koordinat satu untuk mendapatkan bentuk matrik. Ia mendefinisikan jumlah dan perkalian operator linear.

Pada 1890 Pincherle meneliti teori operator linear pada ruang vektor dalam dimensi tidak berhingga. Akan tetapi, ia bekerja tidak berdasarkan pada karya Peeano, ia lebih condong menggunakan teori operator abstrak dari Leibniz dan d’Alembert. Seperti karya lainnya yang meneliti pada bidang ini, karya tersebut hanya menghasilkan pengaruh yang kecil pada ruang vektor dengan dimensi tidak terhingga ini tidaklah dipelajari lagi sampai pada akhirnya Banach dan kelompoknya mengangkat topik ini tahun 1920-an.

Walalupun tidak pernah mencapai sampai level pengabstraksian seperti Peeano, Helbert dan muridnya Schmidt mengkaji fungsi ruang dimensi tahun 1904. Schmidt akhirnya dapat memperkenalkan bahasa geometri ke dalam teori ruang Helbert tahun 1908. dan pendekatan aksiomanya muncul pada Disertasi Banach’s tahun 1920.

Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.