Geometri kartesius, diperkenalkan oleh Fermat dan Des Cartes sekitar tahun 1936, mempunyai pengaruh yang sangat besar dalam dunia Matematika terutama dalam mentransformasi metode aljabar ke geometri. Pada pertengahan abad 19 terjadi suatu ketidakpuasan dengan metode koordinat dan orang-orang mulai mencari metode langsung, seperti metode geometri sintetis yang mana menggunakan koordinat bebas.
Hal ini memungkinkan untuk menelusuri kembali permulaan dari konsep vector pada awal abad 19 dengan menggunakan karya Bolzano. Pada 1804, Bolzano mempublikasikan hasil kerjanya mengenai penemuan geometri elementary “Betrachtrungen Uber Einige Gegenstande der Elementar Geometrie”. Bolzano dalam bukunya menganggap bahwa titik, garis, dan bidang tidak didefinisikan sebagai elemen tetapi melainkan didefinisikan sebagai bentuk operasi. Hal ini merupakan langkah yang sangat penting dalam mengaksiomakan geometri dan merupakan langkah awal yang dibutuhkan dalam pengabstraksian konsep ruang linear.
Perpindahan dari geometri koordinat tersebut merupakan tujuan utama dari usaha Pencelet dan Chasles yang merupakan penemu geometri sintetik. Perkembangan dalam analisis ini bergerak bersamaan dari ruang objek konkrit, seperti ruang barisan, menuju ke ruang linear abstrak. Sebagai penggantinya untuk pendefinisian matrik, operator linear abstrak harus didefinisikan dalam ruang linear abstrak.
Pada 1827 Mobius mempublikasikan Der Barycentische Calcul yaitu buku geometri yang mempelajari transformasi dan conic. Keutamaan dari buku ini adalah pengenalan koordinat Barychentric. Buatlah segitiga ABC, jika a, b, c diletakkan di A, B, C secara berurutan dan titik P sebagai pusat gravitasi. Mobius menunjukkan bahwa setiap titik P dalam bidang tersebut ditentukan oleh koordinat homogen [a, b, c], ukuran berat yang dikehendaki diletakkan di A, B, C memberikan pusta gravitasi di titik P. hal yang terpenting di sini adalah Mobius dianggap sebagai pencetus awal kemunculan vector.
Pada 1837 Mobius menerbitkan buku statistic yang mana dengan jelas, ia menyatakan idenya pada pemecahan soal vector dalam 2 sumbu khusus.
Diantara jangka waktu diterbitkannya 2 hasil karya Mobius, Bellavitis menerbitkan karta geometrinya pada 1832 yang berisi mengenai vector berjumlah banyak. Objek utamanya adalah garis AB dan ia menganggap AB dan BA sebagai 2 objek yang jelas. Ia mendefinisikan 2 garis sebagai “equipollent”, jika mereka sama. Jadi dalam notasi modern, 2 garis dinyatakan equipollent jika mereka dapat menunjukkan vector yang sama. Bellavitis mendefinisikan jumlah 2 garis yang equipollent dan kalkulus equipollent ke dalam ruang vector.
Pada 1814 Argand menggambarkan bahwa bilangan komplek sebagai titik pada bidang di mana keduanya merupakan bilangan riil. Hamilton menggambarkan bilangan komplek sebagai ruang vector 2 dimensi pada bilangan riil. Walaupun ia tidak menggunakan bentuk abstrak secara umum. Ia mengirim hasil penemuannya dalam sebuah paper ke Irish Academy 1833. ia menghabiskan lebih dari 10 tahun untuk mendefinisikan perkalian bilangan riil dalam ruang vector tiga dimensi. Quaternion Hamilton, dipublikasikan pada 1834 sebagai contoh penting dari ruang vector 4 dimensi, khusunya penelitian Tait tentang quaternion yang dipublikasikan tahun1873, dimana terdapat persaingan antara metode vector dan metode quaternion.
Pada 1857 Cayley memperkenalkan aljabar matrik, dimana hal ini sangat membantu untuk mengubah system abstrak menjadi lebih umum dengan menambahkan tipe hokum structural yang berbeda. Pada 1858 Cayley mengumumkan bahwa quaternion dapat ditunjukkan dalam matrik.
Pada 1867 Laguerre menulis surat pada Hermite Sur Le Calcul Des Sistemes Lineares. Systemes lineaires-nya adalah tabel koefisien system persamaan linear yang ditunjukkan dengan huruf besar tunggal, dan Laguerte mendefinisikan penambahan, pembagian, dan perkalian dari system linear tersebut. Dalam karyanya Laguerte bertujuan untuk menggabungkan system aljabar seperti bilangan kompleks, quaternion Hamilton, dan gagasan yang diperkenalkan oleh Galois dan Cauchy.
Karya Laguerte dalam system linear ini diikuti oleh paper Carvalo pada 1891. dalam hal ini ia mendefinisikan operator pada fungsi vector dan melukiskan secara jelas perbedaan antara operator dan matriks.
Untuk mengetahui perbedaan antara operator dan matriks ini cukup dengan mengatakan bahwa jika seseorang merubah system koordinat, seseorang itu akan mendapatkan matriks yang berbeda untuk menunjukkan fungsi vector yang sama dan dengan operasi yang sama pula.
Ahli Matematika lainnya yang bergerak dalam bidang geometri tanpa koordinat adalag Grassmann. Hasil kerjanya memang berkualitas tinggi dan asli, tetapi koordinat Barycentris yang diperkenalkan oleh Mobius adalah motivasi utamanya. Kontribusi Grassmann, Die Ausdehnugshlere, dimunculkan dalam berbagai versi yang berbeda. Yang pertama pada 1844 tapi versi ini sulit dibaca dan jelas-jelas tidak berhubungan dengan matematikawan, jadi Grassmann berusaha memproduksi versi yang dapat dibaca yang muncul pada 1862. Clebch terinspirasi Grassmann dalam versi tertentu.
Grassmann belajar aljabar yang elemennya tidak dispesifikasi, begitu juga dengan kuantitas abstrak. Ia memperhitungkan system elemen yang ia artikan sebagai operasi formal terhadap penambahan, perkalian scalar dan perkalian. Ia mulai dengan elemen tak terdefinisi yang biasa disebut dengan “simple quantities” dan menghasilkan aturan penggunaan kuantitas yang lebih komplek secara khusus.
Tapi… lebih jauh, karena saya menyebut hal ini tidak hanya sekedar kuantitas melainkan kuantitas sederhana. Ada kuantitas lain yang mempunyai kuantitas gabungan pada diri mereka sendiri dan karakter yang mempunyai hubungan yang jelas antara satu sama lainnya seperti karakteristik kuantitas sederhana yang beda satu sama lainnya. Kuantitas ini terjadi melalui penambahan bentuk tinggi.
Hasil karyanya berisikan aturan-aturan yang terkenal dalam ruang vector, karena ia juga mempunyai definisi perkalian, strukturnya memenuhi sifat/ciri-ciri yang sekarang ini lebih dikenal dengan aljabar. Struktur yang tepat untuk sekarang ini dikenal dengan sebutan Aljabar Grassmann. Elemen himpunan linear bergantung dan tidak bergantung, jelas-jelas merupakan hasil karya Grassmann dalam dimensi (walaupun ia tidak menggunakan istilah itu). Hasil skalar juga muncul pada karya Grassmann di tahun 1844.
Pandangan Grassmann 1862 dalam Die Ausdehnungslehre mempunyai kata pengantar yang panjang dimana ia memberi ringkasan atas teorinya. Dalam kata pengantarnya ini ia juga membela pada metode formal yang mana mempunyai kejelasannya telah diuji oleh beberapa matematikawan. Grassmann pun dinyatakan bahwa ia adalah pencipta teori Axiomatis dan hal ini menunjukkan bahwa ia sangat hebat di jamannya.
Cauchy dan Saint Venant mempunyai beberapa klaim mengenai penemuan sistem yang sama terhadap Grassmann. Klaim Saint Venant cukup beralasan karena ia mempublikasikan karyanya 1845 yang mana ia mengalihkan garis dengan cara yang sama seperti Grassmann. Pada kenyataannya ketika Grassmann membaca paper Saint Venant, ia sadar bahwa Saint Venant tidak membaca hasil karyanya 1844 dan mengirim dua kopian yang sama pada Cauchy, meminta padanya untuk menyampaikan kopian pada Saint Venant.
Cauchy pada 1853 mempublikasikan Sur les clefs algerique di Computes Rendus yang menggambarkan metode simbol secara formal, metode ini serupa/mirip dengan metode Grassmann (tetapi tidak berdasarkan referensi Grassmann). Grassmann mengadukan pada akademik bahwa hasil karyanya diambil Cauchy. Dan pada 1854, komite mengadakan penyelidikan mengenai siapa yang lebih berhak.
Pertama-tama yang meneliti keutamaan hasil karya Grassmann adalah Hankel. Pada 1867 ia menulis paper mengenai Theori Der Complexen Zahlensisteme yang menyoroti sistem formal yang merupakan kombinasi antara simbol-simbol yang didefinisikan secara abstrak. Ia menyanjung Die Ausdehnungslehre-nya Grassmann yang telah memberikan pondasi yang kuat atas kerjanya.
Orang yang pertama kali memberikan definisi aksiomatis dalam ruang linear riil adalah Peeano dalam bukunya yang diterbitkan di Torino 1888. ia menyanjung Leibniz, karya Mobius tahun 1827, karya Grassmann 1844 dan Quaternions Hamilton yang telah menyediakan ide-ide yang dapat membimbingnya untuk mencetuskan kalkulus formal.
Buku Peeano pada tahun 1888, Calcolo Geometrico Secondo I’ Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preceduro dalle Operazionci Della Logica Dedettiva sangat menakjubkan. Buku ini memberikan operasi himpunan pada kalkulus dasar yang mengenalkan adanya notasi modern , , sebagai irisan, gabungan, dan anggota dari. Beberapa tahun yang lalu, hal ini telah ada tapi belum dapat diterima, dan kenyataan sekarang buku Peeano sepertinya mempunyai pengaruh pada tahun-tahun belakangan ini. Buku ini juga memuat pengenalan modern dalam Ruang Linear dan Aljabar Linear.
Dalam bab IX buku Peeano memberikan aksioma Ruang Linear. Ini sungguh sangat sulit untuk dipercaya bahwa Peeano menulis pada tahun 1888.
Sewajarnya hal ini ditulis pada tahun 1988, yang pertama adalah untuk persamaan elemen.
1. a = b jika dan hanya jika b = a dan b = c maka a = c
2. Jumlah 2 objek a dan b yang terdefinisi, seperti suatu objek didefinisikan dengan notasi a + b juga termasuk dalam sistem, memenuhi :
Jika a = b maka a + c = b + c, a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c dan persamaan lainnya adalah a + b + c.
3. Jika a adalah objek dan m adalah integer positif maka ma adalah jumlah dari m objek sebanyak a. Jika a = b maka ma = mb, m(a + b) = ma + mb, (m + n)a = ma + na, m(na) = mna, 1a = a.
Peeano menyatakan mengenai keberadaan dari nol dan menyatakan 0a = 0 dan a – b berarti a + (-b) dan hal ini sesuai dengan a – a = 0 dan 0 + a = a.
Peeano mendefinisikan sistem linear merupakan sistem objek yang memenuhi empat syaratnya. Lalu ia mendefinsikan objek bergantung dan objek tidak bergantung, kemudian ia mendefinisikan mengenai dimensi.
Definisi : Jumlah dimensi pada sistem linear adalah jumlah maksimal dari objek sistem linear independen.
Ia membuktikan bahwa Ruang dimensi terhingga mempunyai basis dan memberi contoh dari ruang linear dimensi tak terhingga. Peeano menganggap bahwa semua fungsi f(x) dengan variabel x, didefinisikan jumlah f1(x) dan f2(x) dan hasil dari f(x) oleh m bilangan riil. Ia mengatakan :
Jika seseorang menganggap hanya fungsi dengan pangkat n, lalu bentuk fungsi tersebut merupakan sistem linear dengan dimensi n + 1 maka semua fungsi dengan pangkat sembarang dalam bentuk sistem linear mempunyai dimensi yang terbatas.
Peeano mendefinisikan operator linear pada ruang linear, ditunjukkan dengan menggunakan koordinat satu untuk mendapatkan bentuk matrik. Ia mendefinisikan jumlah dan perkalian operator linear.
Pada 1890 Pincherle meneliti teori operator linear pada ruang vektor dalam dimensi tidak berhingga. Akan tetapi, ia bekerja tidak berdasarkan pada karya Peeano, ia lebih condong menggunakan teori operator abstrak dari Leibniz dan d’Alembert. Seperti karya lainnya yang meneliti pada bidang ini, karya tersebut hanya menghasilkan pengaruh yang kecil pada ruang vektor dengan dimensi tidak terhingga ini tidaklah dipelajari lagi sampai pada akhirnya Banach dan kelompoknya mengangkat topik ini tahun 1920-an.
Walalupun tidak pernah mencapai sampai level pengabstraksian seperti Peeano, Helbert dan muridnya Schmidt mengkaji fungsi ruang dimensi tahun 1904. Schmidt akhirnya dapat memperkenalkan bahasa geometri ke dalam teori ruang Helbert tahun 1908. dan pendekatan aksiomanya muncul pada Disertasi Banach’s tahun 1920.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Minggu, 18 Oktober 2009
Sejarah Nol
Nol mempunyai dua fungsi yang sama-sama penting tetapi berbeda dalam beberapa hal. Fungsi pertama ialah tempat yang kosong mengindikasikan pada system angka nilai posisi kita. Oleh karena itu, pada angka 2106 nol digunakan agar posisi 2 dan 1 benar. Jelasnya 216 berarti sesuatu yang berbeda. Fungsi kedua dari nol adalah angka itu sendiri pada bentuk yang kita gunakan sebagai 0. perbedaan yang ada pada dua fungsi tersebut adalah pada penamaan konsep, system penulisan, dan namanya.
Kita mungkin berpikir bahwa system nomor tempat yang memunculkan wujud 0 sebagai bentuk kosong adalah gagasan penting, namun bangsa Babylon mempunyai system nomor tempat tentang hal ini selama lebih dari 1000 tahun. Hal ini dapat dibuktikan berdasarkan teks asli yang selamat dari era Matematika bangsa Babylon. Bangsa Babylon menulis pada papan yang terbuat dari tanah liat. Banyak papan yang selamat pada tahun 1700 SM dan dapat kit abaca teks aslinya. Tentu saja ada system penulisan yang berbeda dengan system kita (tidak berbasis 10 tetapi 60) tetapi untuk menerjemahkan pada system penulisan kita tidak begitu berbeda antara 2106 dan 216 (konteksnya harus dapat memperlihatkan apa yang diharapkan). Tidak sampai, sekitar, tahun 400 SM bangsa Babylon menaruh dua perubahan symbol ditempat kita menaruh nol untuk mengindikasikan yang berarti, 216 atau 21”6.
Sebuah papan yang diperkirakan dibuat sekitar tahun 700 SM menggunakan tiga hook (berbentuk bengkokan) untuk menandai tempat yang kosong. Hal itu adalah ciri yang biasa untuk menandai bagian yang kosong. Hal ini membuktikan bahwa tidak pernah terjadi pada akhir digit tetapi selalu antara dua digit. Jadi walalupun kita menemukan 21”6, kita tidak pernah menemukan 216”.
Bangsa Yunani juga berpendapat bahwa nol sebagai penanda tempat yang kosong. Akan tetapi, bangsa Yunani tidak mengadopsi sistem posisi angka bangsa Babylon. Karena matematika Yunani berdasar pada geometri. Dengan kata lain matematika Yunani tidak perlu menamakan angka mereka. Angka yang diberi nama hanya digunakan pada perdagangan, bukan matematika, sebab itu tidak perlu sistem penulisan yang baik.
Ada pengecualian pada apa yang telah diungkapkan di atas. Pengecualiannya terdapat pada ahli matematika yang bergerak dalam bidang perekaman data astronomi. Disini dapat ditemukan penggunaan pertama suatu simbol yang kita kenal dengan nol, astronom Yunani mulai menggunakan simbol O. Ada beberapa teori muncul tentang mengapa simbol ini digunakan. Beberapa sejarahwan berpendapat bahwa simbol tersebut adalah Omicron, huruf pertama dalam aksara Yunani tidak ada yang dinamakan ”ouden”. Neugebauer menentang penjelasan tersebut karena bangsa Yunani menggunakan omicron sebagai angka. Penjelasan lain termasuk fakta bahwa hal ini mewakili ”obol”, sebuah koin yang hampir tak berharga, dan ini muncul pada saat logam kecil digunakan untuk menghitung di papan pasir. Yang diinginkan ialah ketika uang logam dipindah untuk meninggalkan kolom yang kosong, ia meninggalkan tekanan pada pasir yang berbentuk seperti O.
Sekitar 650 M penggunaan Nol sebagai angka sudah masuk pada matematika India. Bangsa India juga menggunakan sistem tempat nilai dan nol untuk menandakan tempat yang kosong. Bahkan ada buktinya penyangga tempat yang kosong pada posisi angka dari awal 200 M di India tetapi beberapa sejarahwan menyangkal hal tersebut karena dianggap tidak asli.
Sekitar tahun 500 M, Aryabhata merancang sistem angka yang belum terdapat angka nol. Ia menggunakan kata ”kha” untuk posisi dan selanjutnya digunakan dengan untuk nol. Ada bukti yang menunjukkan bahwa titik digunakan pada awal manuskrip India untuk menandakan tempat yang kosong pada sistem penulisan. Cukup menarik ketika dokumen yang sama kadang-kadang menggunakan titik untuk menandakan hal yang tidak diketahui yang biasanya kita gunakan x. Belakangan matematika India mensahkan nol pada posisi angka namun belum ada simbol yang mewakilinya.
Sekarang dibahas tentang pemutusan nol sebagai angka. Dari zaman dahulu angka adalah kata yang mewakili koleksi pada objek. Pastinya gagasan tentang angka menjadi semakin abstrak dan abstraksi ini memungkinkan untuk kemunculan nol dan angka negatif yang tidak ada pada koleksi sifat objek. Tentu saja masalah yang timbul ketika seseorang mencoba untuk mempertimbangkan nol dan negatif sebagai angka adalah bagaimana bergabung dalam berhubungan pada operasi aritmatik, substraksi tambahan, multiplikasi dan divisi.
Brahmagupta mencoba memberikan aturan pada aritmatika dengan melibatkan angka nol dan negatif pada abad ke-7. ia menjelaskan bahwa menentukan angka dan jika kamu mensubstrasikannya sendiri maka kamu mendapat nol. Ia memberikan peraturan tambahan yang berhubungan dengan nol, sebagai berikut :
”The sum of zero and a negative number is negative, the sum of a positive number and zero is positive, the sum of zero and zero is zero.”
Substraksi terlihat lebih keras :
“A negative number subtracted from zero is positive, a positive number subtracted from zero is negative, zero subtracted from a negative number is negative, zero subtracted from positive number is positive, zero subtracted from zero is zero.”
Sebenarnya, Brahmagupta berkata sangat sedikit ketika ia mengemukakan bahwa n dibagi nol adalah n/0. ia salah ketika ia mengklaim bahwa nol dibagi nol adalah nol. Akan tetapi, adalah suatu percobaan yang jenius dari orang pertama yang kita tahu mencoba untuk mengembangkan aritmatika pada angak negative dan nol.
Pada 830 Mahavira menulis Ganita Sara Samgraha yang dibuat untuk memperbaharui buku Bramagupta. Ia menyatakan bahwa :
“... a number multiplied by zero is zero, and a number remain the same when zero is substracted from it.”
Bagaimanapun juga ia mencoba untuk memperbaiki pernyataan Bramagupta tentang pembagian nol yang terlihat banyak membuat kesalahan, ia menulis :
“A number remains unchanged when divided by zero.”
Bhaskara menulis lebih dari 500 tahun setelah Brahmagupta. Ia menulis :
“A quantity devided by zero becomes a fraction the denominator of which is zero. This fraction is termed an infinite quantity. In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted; as no change takes place in infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of being are absorbed or put forth.”
Maka Bhaskara mencoba untuk memecahkan masalah dengan menulis n/0 = tak hingga. Dilihat pertama kali mungkin kita terbujuk untuk percaya bahwa Bhaskara benar, tetapi tentu saja dia tidak benar. Apabila benar bahwa waktu 0 adalah harus sejajar dengan semua angka n, maka semua angka adalah sejajar. Matematika India tidak menyimpulkan pada hal pembenaran bahwa sesuatu tidak dapat dibagi dengan nol. Akan tetapi, Bhaskara juga mempunyai pernyataan yang benar seperti 0^2 = 0 dan 0 = 0.
Bangsa Maya yang hidup di Amerika Tengah, yang sekarang dikenal Meksiko Selatan, Guatemala, dan Utara Belize. Pada tahun 665, mereka menggunakan system angka nilai-tempat dengan nilai dasar 20 dengan menggunakan symbol nol.
Suatu kerja yang jenius dari matematikawan India dikirimkan ke matematikawan Islamis dan Arabis jauh ke barat. Inilah awal bagi Al-Khawarizmi yang menulis Al’Khawarazimi on the Hindu Art of Reckoning yang menggambarkan system angka place-value dengan nilai dasar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. hasil inilah yang digunakan oleh Irak dimana nol dianggap sebagai awal dari system penulisan. Ibn Ezra, pada abad 12 menulis tiga buku yang membahas secara mendalam tentang angka yang membantu symbol bangsa India dan gagasan bilangan pecahan decimal menjadi suatu perhatian bagi para pelajar Eropa. The book of the number menggambarkan system decimal untuk bilangan bulat yang system place-value-nya dari kiri ke kanan. Pada hal ini, Ibn Ezra menggunakan nol yang ia sebut galgal (berarti roda atau lingkaran). Pada akhir abad ke-12, Al-Samawal menulis :
”If we substract a positive number from zero the same negative number remains… if we substract a negative number from zero the same positive number remains.”
Gagasan orang India menyebar dari utara ke Cina seperti Barat ke Negara Islam. Pada tahun 1274, matematikawan Cina Chi’in Chiu-shao menulis Mathematical tratise in nine section yang menggunakan simbol 0 untuk nol. Selanjutnya, di tahun 1303, Chu Shih-chieh menulis cermin batu permata hijau dari empat elemen yang menggunakan simbol 0 untuk nol.
Tentu saja ada masalah yang ditimbulkan oleh nol. Baru saja orang merayakan millenium baru pada 1 Januari 2000. tentu saja mereka merayakan setelah melewati 1999 tahun sejak kalender dibuat walaupun tidak ada tahun nol. Walaupun seseorang dapat memahami kesalahan tersebut, sangat mengejutkan bahwa banyak orang yang tidak dapat mengerti mengapa millenium ketiga dan abad 21 dimulai pada 1 Januari 2001. nol masih menyisakan masalah.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Kita mungkin berpikir bahwa system nomor tempat yang memunculkan wujud 0 sebagai bentuk kosong adalah gagasan penting, namun bangsa Babylon mempunyai system nomor tempat tentang hal ini selama lebih dari 1000 tahun. Hal ini dapat dibuktikan berdasarkan teks asli yang selamat dari era Matematika bangsa Babylon. Bangsa Babylon menulis pada papan yang terbuat dari tanah liat. Banyak papan yang selamat pada tahun 1700 SM dan dapat kit abaca teks aslinya. Tentu saja ada system penulisan yang berbeda dengan system kita (tidak berbasis 10 tetapi 60) tetapi untuk menerjemahkan pada system penulisan kita tidak begitu berbeda antara 2106 dan 216 (konteksnya harus dapat memperlihatkan apa yang diharapkan). Tidak sampai, sekitar, tahun 400 SM bangsa Babylon menaruh dua perubahan symbol ditempat kita menaruh nol untuk mengindikasikan yang berarti, 216 atau 21”6.
Sebuah papan yang diperkirakan dibuat sekitar tahun 700 SM menggunakan tiga hook (berbentuk bengkokan) untuk menandai tempat yang kosong. Hal itu adalah ciri yang biasa untuk menandai bagian yang kosong. Hal ini membuktikan bahwa tidak pernah terjadi pada akhir digit tetapi selalu antara dua digit. Jadi walalupun kita menemukan 21”6, kita tidak pernah menemukan 216”.
Bangsa Yunani juga berpendapat bahwa nol sebagai penanda tempat yang kosong. Akan tetapi, bangsa Yunani tidak mengadopsi sistem posisi angka bangsa Babylon. Karena matematika Yunani berdasar pada geometri. Dengan kata lain matematika Yunani tidak perlu menamakan angka mereka. Angka yang diberi nama hanya digunakan pada perdagangan, bukan matematika, sebab itu tidak perlu sistem penulisan yang baik.
Ada pengecualian pada apa yang telah diungkapkan di atas. Pengecualiannya terdapat pada ahli matematika yang bergerak dalam bidang perekaman data astronomi. Disini dapat ditemukan penggunaan pertama suatu simbol yang kita kenal dengan nol, astronom Yunani mulai menggunakan simbol O. Ada beberapa teori muncul tentang mengapa simbol ini digunakan. Beberapa sejarahwan berpendapat bahwa simbol tersebut adalah Omicron, huruf pertama dalam aksara Yunani tidak ada yang dinamakan ”ouden”. Neugebauer menentang penjelasan tersebut karena bangsa Yunani menggunakan omicron sebagai angka. Penjelasan lain termasuk fakta bahwa hal ini mewakili ”obol”, sebuah koin yang hampir tak berharga, dan ini muncul pada saat logam kecil digunakan untuk menghitung di papan pasir. Yang diinginkan ialah ketika uang logam dipindah untuk meninggalkan kolom yang kosong, ia meninggalkan tekanan pada pasir yang berbentuk seperti O.
Sekitar 650 M penggunaan Nol sebagai angka sudah masuk pada matematika India. Bangsa India juga menggunakan sistem tempat nilai dan nol untuk menandakan tempat yang kosong. Bahkan ada buktinya penyangga tempat yang kosong pada posisi angka dari awal 200 M di India tetapi beberapa sejarahwan menyangkal hal tersebut karena dianggap tidak asli.
Sekitar tahun 500 M, Aryabhata merancang sistem angka yang belum terdapat angka nol. Ia menggunakan kata ”kha” untuk posisi dan selanjutnya digunakan dengan untuk nol. Ada bukti yang menunjukkan bahwa titik digunakan pada awal manuskrip India untuk menandakan tempat yang kosong pada sistem penulisan. Cukup menarik ketika dokumen yang sama kadang-kadang menggunakan titik untuk menandakan hal yang tidak diketahui yang biasanya kita gunakan x. Belakangan matematika India mensahkan nol pada posisi angka namun belum ada simbol yang mewakilinya.
Sekarang dibahas tentang pemutusan nol sebagai angka. Dari zaman dahulu angka adalah kata yang mewakili koleksi pada objek. Pastinya gagasan tentang angka menjadi semakin abstrak dan abstraksi ini memungkinkan untuk kemunculan nol dan angka negatif yang tidak ada pada koleksi sifat objek. Tentu saja masalah yang timbul ketika seseorang mencoba untuk mempertimbangkan nol dan negatif sebagai angka adalah bagaimana bergabung dalam berhubungan pada operasi aritmatik, substraksi tambahan, multiplikasi dan divisi.
Brahmagupta mencoba memberikan aturan pada aritmatika dengan melibatkan angka nol dan negatif pada abad ke-7. ia menjelaskan bahwa menentukan angka dan jika kamu mensubstrasikannya sendiri maka kamu mendapat nol. Ia memberikan peraturan tambahan yang berhubungan dengan nol, sebagai berikut :
”The sum of zero and a negative number is negative, the sum of a positive number and zero is positive, the sum of zero and zero is zero.”
Substraksi terlihat lebih keras :
“A negative number subtracted from zero is positive, a positive number subtracted from zero is negative, zero subtracted from a negative number is negative, zero subtracted from positive number is positive, zero subtracted from zero is zero.”
Sebenarnya, Brahmagupta berkata sangat sedikit ketika ia mengemukakan bahwa n dibagi nol adalah n/0. ia salah ketika ia mengklaim bahwa nol dibagi nol adalah nol. Akan tetapi, adalah suatu percobaan yang jenius dari orang pertama yang kita tahu mencoba untuk mengembangkan aritmatika pada angak negative dan nol.
Pada 830 Mahavira menulis Ganita Sara Samgraha yang dibuat untuk memperbaharui buku Bramagupta. Ia menyatakan bahwa :
“... a number multiplied by zero is zero, and a number remain the same when zero is substracted from it.”
Bagaimanapun juga ia mencoba untuk memperbaiki pernyataan Bramagupta tentang pembagian nol yang terlihat banyak membuat kesalahan, ia menulis :
“A number remains unchanged when divided by zero.”
Bhaskara menulis lebih dari 500 tahun setelah Brahmagupta. Ia menulis :
“A quantity devided by zero becomes a fraction the denominator of which is zero. This fraction is termed an infinite quantity. In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted; as no change takes place in infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of being are absorbed or put forth.”
Maka Bhaskara mencoba untuk memecahkan masalah dengan menulis n/0 = tak hingga. Dilihat pertama kali mungkin kita terbujuk untuk percaya bahwa Bhaskara benar, tetapi tentu saja dia tidak benar. Apabila benar bahwa waktu 0 adalah harus sejajar dengan semua angka n, maka semua angka adalah sejajar. Matematika India tidak menyimpulkan pada hal pembenaran bahwa sesuatu tidak dapat dibagi dengan nol. Akan tetapi, Bhaskara juga mempunyai pernyataan yang benar seperti 0^2 = 0 dan 0 = 0.
Bangsa Maya yang hidup di Amerika Tengah, yang sekarang dikenal Meksiko Selatan, Guatemala, dan Utara Belize. Pada tahun 665, mereka menggunakan system angka nilai-tempat dengan nilai dasar 20 dengan menggunakan symbol nol.
Suatu kerja yang jenius dari matematikawan India dikirimkan ke matematikawan Islamis dan Arabis jauh ke barat. Inilah awal bagi Al-Khawarizmi yang menulis Al’Khawarazimi on the Hindu Art of Reckoning yang menggambarkan system angka place-value dengan nilai dasar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. hasil inilah yang digunakan oleh Irak dimana nol dianggap sebagai awal dari system penulisan. Ibn Ezra, pada abad 12 menulis tiga buku yang membahas secara mendalam tentang angka yang membantu symbol bangsa India dan gagasan bilangan pecahan decimal menjadi suatu perhatian bagi para pelajar Eropa. The book of the number menggambarkan system decimal untuk bilangan bulat yang system place-value-nya dari kiri ke kanan. Pada hal ini, Ibn Ezra menggunakan nol yang ia sebut galgal (berarti roda atau lingkaran). Pada akhir abad ke-12, Al-Samawal menulis :
”If we substract a positive number from zero the same negative number remains… if we substract a negative number from zero the same positive number remains.”
Gagasan orang India menyebar dari utara ke Cina seperti Barat ke Negara Islam. Pada tahun 1274, matematikawan Cina Chi’in Chiu-shao menulis Mathematical tratise in nine section yang menggunakan simbol 0 untuk nol. Selanjutnya, di tahun 1303, Chu Shih-chieh menulis cermin batu permata hijau dari empat elemen yang menggunakan simbol 0 untuk nol.
Tentu saja ada masalah yang ditimbulkan oleh nol. Baru saja orang merayakan millenium baru pada 1 Januari 2000. tentu saja mereka merayakan setelah melewati 1999 tahun sejak kalender dibuat walaupun tidak ada tahun nol. Walaupun seseorang dapat memahami kesalahan tersebut, sangat mengejutkan bahwa banyak orang yang tidak dapat mengerti mengapa millenium ketiga dan abad 21 dimulai pada 1 Januari 2001. nol masih menyisakan masalah.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Senin, 12 Oktober 2009
Geometri : Teorema Empat Warna
Empat perkiraan warna, diperkirakan ditemukan oleh Francis Guthrie. Dia adalah mahasiswa di Universitas
De Morgan tak dapat menjawabnya, pada 23 Oktober 1852, hari yang sama dengan datangnya pertanyaan itu, dia menulis ke Hamilton di Dublin. De Morgan menulis :
“Hari ini seorang muridku menanyakan padaku untuk memberikan padanya tentang sebuah alasan yang pada kenyataannya saya tidak tahu - belum tahu. Dia mengatakan bahwa jika sebuah gambar terbagi dan kompartemen berbedanya diberi warna – 4 warna, tidak lebih – masalah selanjutnya adalah pada 4 warna tersebut. Percobaan untuk menemukan yang ke
“Saya tidak bisa menjawab pertanyaanmu tentang quaternion warna dengan cepat.”
Sebelum melanjutkan pada sejarah dari 4 perkiraan warna, kita akan membahas tentang Francis Guthrie. Setelah belajar menjadi pengacara, dia pergi ke Afrika Selatan pada tahun 1861 sebagai Profesor Matematika. Ia menulis beberapa buku Matematika dan menjadi tertarik di bidang botani.
De Morgan terus bertanya pada setiap orang untuk dapat menemukan solusi pada masalah Guthrie’s dan beberapa matematikawan mencoba menemukannya. Charles Peirce di
Pada 17 Juli 1879, Alfred Bray Kempe mengumumkan bahwa dia telah membuktikan 4 perkiraan warna. Kempe adalah seorang pengacara di
Kempe mengemukakan sebuah argument yang dikenal sebagai methode of Kempe chains. Jika kita punya peta yang mana setiap daerah diwarnai merah, hijau, biru, atau kuning kecuali satu, anggaplah X. jika daerah X tidak dikelilingi oleh daerah dengan 4 warna tersebut maka ada warna yang disisakan untuk X. oleh karena itu anggaplah daerah 4 warna tersebut mengelilingi X. jika X dikelilingi A, B, C, D dengan warna merah, kuning, hijau, dan biru maka ada dua hal yang harus dibahas.
i. tidak ada rantai antara daerah yang berdekatan dari A ke C dengan warna merah dan hijau.
ii. ada rantai antara daerah yang berdekatan dari A ke C dengan warna merah dan hijau.
Jika berbentuk (i), maka tidak ada masalah. Ganti A ke hijau, lalu ubah warna daerah dalam rantai merah atau hijau untuk mengikuti A. Karena C tidak dalam rantai, maka C tetap hijau dan sekarang tidak ada daerah merah yang berdekatan dengan X, warna X adalah merah.
Jika berbentuk (ii), maka tidak mungkin ada daerah yang berdekatan dengan rantai kuning atau biru dari B ke D. [hal itu tidak dapat melintasi daerah rantai merah atau hijau]. Oleh karena (i) ada pada B dan D kita rubah warnanya seperti di atas.
Kempe menerima pujian besar karena karyanya itu. Dia terpilih anggota dari The Real Society dan dianggap sebagai harta karun selama beberapa tahun.
Teorema 4 warna kembali menjadi 4 perkiraan warna pada tahun 1890. Percy John Heawood, seorang Dosen pada Durhan England, menerbitkan buku berjudul Map Colouring Theorem, di dalamnya ia menyatakan :
”Lebih ke merusak daripada membangun, dengan ini akan memperlihatkan kekurangan dari bukti yang ada pada saat ini”.
Walaupun Heawood menunjukkan bahwa bukti Kempe salah, dia membuktikan bahwa setiap peta dapat diwarnai dengan 5 warna pada sebuah kertas. Kempe melaporkan kesalahannya sendiri pada komunitas matematika London dan berkata dia tidak dapat memperbaiki kesalahan pada buktinya. Pada tahun 1896 De Lavalle Poussin memfokuskan kesalahan Kempe.
Heawood sepanjang hidupnya bekerja pada pewarnaan peta. Setelah bekerja selama 60 tahun, dia sukses meneliti warna diperlukan untuk peta pada permukaan yang berbeda dan menyatakan apa yang dikenal sebagai Heawood estimate untuk angka yang diperlukan pada permukaan Euler characteristic.
Heawood menyumbangkan kontribusi pada 4 perkiraan warna pada tahun 1898, dia membuktikan bahwa jika angka dari masing-masing batas sekitar daerah adalah dapat terbagi tiga lalu daerah-daerah tersebut terdiri dari 4 warna. Dia kemudian menulis banyak paper tentang hasilnya tersebut.
Secara jelas sebuah grafik dapat dibuat dari semua peta yang daerahnya dijelaskan oleh titik tertinggi dan dua titik tertinggi yang tergabung oleh suatu ujung, jika daerah yang berhubungan dengan titik tertinggi berdekatan. Hasil grafiknya adalah planar, berarti bahwa grafik itu dapat digambar dalam permukaan tanpa ada ujung. 4 perkiraan warna menimbulkan pertanyaan jika titik tertinggi pada grafik dapat diwarnai dengan 4 warna, maka tidak ada dua titik tertinggi (yang berdekatan) yang mempunyai warna yang sama.
Berdasarkan grafik, sebuah triangulation dapat ditentukan dengan menambahkan batas untuk membagi semua bentuk non-traingular menjadi triangle. Sebuah bentuk adalah bagian dari tiangulation yang didalamnya terdapat sebuah sirkuit. Set yang tidak dapat dihindari adalah bentuk set dengan properti, yaitu bahwa semua triangulation harus terdiri dari salah satu bentuk dalam set. Suatu bentuk dapat dikurangi jika bentuk itu tidak dapat berada pada grafik terkecil triangulation yang tidak dapat dibuat menjadi 4 warna.
Pencarian untuk set yang dapat dihindari dimulai pada tahun 1904 pada karya Weinicle. Sedangkan, di Amerika pada saat Veblen yang menerbitkan paper pada tahun 1912 tentang 4 perkiraan warna meneruskan karya Heawood.
Franklin pada 1922 menerbitkan contoh yang lebih maju dari set yang tidak dapat dihindari dan menggunakan ide Birkhoff tentang kemampuan berkurang untuk membuktikan bahwa semua peta dengan daerah <= 25 dapat di 4 warna-kan. Angka daerah yang dihasilkan dalam 4 warna peta perlahan bertambah. Reynold menambah menjadi 27, pada tahun 1926, Winn menjadi 35 tahun 1940, Ore dan Setemple menambah menjadi 35 pada tahun 1970 dan Mayer menjadi 95 di tahun1976.
Akan tetapi, ide final dari solusi 4 perkiraan warna ini telah ada sebelum kedua hasil di atas tersebut. Heesh pada tahun 1969, mengenalkan method of discharging. Metode ini terdiri penentuan titik tertinggi dengan derajat i dengan charge 6-i. Sekarang berdasarkan formula Euler kita dapat menyimpulkan jumlah charge dari semua titik tertinggi pasti 12. Bentuk S yang telah ditentukan dapat dibuktikan tidak dapat dihindari jika untuk triangulation T yang tidak terdiri dari bentuk S, kita dapat mendistribusikan kembali charge tersebut (tanpa mengubah keseluruhan charge) maka tidak ada titik tertinggi yang menghasilkan charge positif.
Heesch berfikir bahwa 4 perkiraan warna dapat diselesaikan dengan meneliti set dengan 8900 bentuk. Ada kesulitan dalam pendekatan ini karena beberapa bentuk mempunyai pembatas lebih dari 18 ujung (batas) dan kemampuan berkurangnya tidak dapat ditest. Test pada kemampuan pengurangan menggunakan argumen rantai Kempe, tetapi beberapa bentuk mempunyai hambatan untuk mencegah reduksi.
Pada tahun 1976 diperlihatkan solusi lengkap untuk perkiraan warna, ketika pada saat itu menjadi teorema 4 warna untuk kedua kalinya, dan terakhir. Pembuktiannya dilakukan oleh Appel dan Haken, menggunakan berdasarkan pada metode kemampuan berkurang menggunakan rantai Kempe. Merek ajuga menggunakan ide Heesch dan akhirnya mereka membangun set yang tidak dapat dihindari dengan 1500 bentuk. Mereka mengatur untuk tetap menjaga ukuran ring pembatas dibawah <= 14 membuat perhitungan lebih mudah daripada yang dilakukan Heesch.
Teorema 4 warna adalah teorema penting yang pertama kali dibuktikan menggunakan komputer. Walalupun pada mulanya ada kekhawatiran, akhirnya pembuktian independen meyakinkan orang-orang bahwa teorema 4 warna telah dapat dibuktikan. Detail tentang bukti tersebut ditulis dalam 2 artikel pada tahun 1977.
Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2007. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.
Langganan:
Postingan (Atom)