KETIDAKTERBATASAN

Sebuah tulisan tentang ketidakterbatasan dari arsip sejarah Matematika menyajikan masalah-masalah khusus. Salah satunya mempertimbangkan aspek-aspek philosofi maupun aspek keagamaan. Hal ini terutama berlaku pada masa Yunani kuno seperti yang dituliskan oleh Knorr. Dari saat orang-orang mulai berfikir tentang dunia di mana mereka tinggal, pertanyaan-pertanyaan mengenai ketidakterbatasan timbul.

Kita mulai menghitung ketidakterbatasan dengan fifth-century Eleatic abad ke-5 Zeno. Orang-orang Yunani awal telah berfikir bisakah sesuatu terus-menerus membagi benda menjadi kecil dan apakah sesuatu yang kecil tidak dapat dibagi lagi. Phytagoras telah membuktikan bahwa semua angka dan seluruh bidangnya diciptakan dari bilangan-bilangan (angka-angka asli terbatas). Lalu ada atomis yang mempercayai bahwa bahan-bahan disusun dari sebuah bilangan atau angka yang terbatas dari ketidakterbagian. Bagaimanapun paradoksnya Zeno menunjukkan keyakinan bahwa bahan secara terus-menerus dapat di bagi. Tentu paradoks ini timbul dari yang tidak terbatas. Ariestoteles mengkhawatirkan adanya ketidakterbatasan. Pembuktian Ariestoteles melawan ketidakterbatasan yang sebenarnya dan pada hal tersebut ia mempertimbangkan ketidakterbatasan. Idenya yang tidak dapat kita pahami tentang bilangan-bilangan asli sebagai sebuah keseluruhan.

Pada perang Babilonia memperkenalkan ide tentang kedudukan system bilangan yang untuk pertama kali memperbolehkan sebuah gambaran singkat bilangan tanpa limit yang menyertainya. Jika L adalah bilangan terbesar dan kita dapat menuliskan L+1 atau L^2, tetapi tetap terbatas. Pada kenyataannya apa yang Euclid buktikan apakah bilangan-bilangan utama kemungkinan besar adalah tidak terbatas.

Ariestoteles berfikir tentang keterbatasan dengan mengambil contoh dalam bidang yang berhubungan dengan ruang angkasa. Nicolas Cusa pada pertengahan abad ke-15 menjelaskan bahwa alam semesta adalah tidak terbatas dan bahwa bintang-bintang adalah matahari yang jauh. Pada abad ke-16 gereja katolik di Eropa mulai mencoba untuk meredam hal-hal yang menyimpang seperti itu. Giardano bukan seorang matematikawan atau ilmuwan, tetapi ia memperdebatkan dengan hebat kasus dari sebuah ketidakterbatasan alam semesta.

Galileo mempelajari persoalan dua lingkaran kosentris dengan pusat O dan mengusulkan penambahan sebuah angka tidak terbatas menjadi lebih kecil jaraknya untuk membuatnya sama dengan yang lebih besar.

Bagaimanapun kebanyakan angka-angka bentuknya sempurna. Galileo mengatakan hal ini hanya dengan maksud bahwa keseluruhan dari angka-angka adalah tidak terbatas dan bahwa bentuk angka-angka tidak terbatas, tidak ada dari bentuk-bentuk angka kurang dari keseluruhan angka-angka dan pada akhirnya sifat-sifat “sama”, “lebih dari”, “kurang” tidak dapat dipakai pada ketidakterbatasan tetapi hanya pada jumlah terbatas.

Cavalieri menulis geometric indivisibilibus kontivorum (1635) yang dia perkirakan garis sebagai perbandingan dari banyak batas dan luas dikenal dengan prinsip Cavalieri. Jika sebuah garis digerakkan parallel pada garis itu sendiri melewati dua daerah dan jika rasio dari panjang garis dengan setiap daerah selalu A : B lalu rasio daerahnya adalah A : B.

Roberval memperkenalkan metode-metode untuk membandingkan ukuran-ukuran ketidakterbagian, jadi walaupun mereka tidak memiliki besarnya sendiri salah satu dapat memberi definisi rasio dari besarnya mereka. Bagaimanapun ada perbedaan antara menggunakan metode yang benar dan menulis kondisi-kondisi yang benar-benar tepat pada saat hal itu dikerjakan . konsekuensinya paradoks dibangun dengan membiarkan beberapa metode dari ketidakterbagian menjadi ditolak.

Perguruan tinggi romawi menolak ketidakterbagian dan melarang pengajaran mereka di perguruan tinggi Jesuit pada tahun 1649. symbol ¥ (takterbatas) yang kita pergunakan untuk ketidakterbatasan sekarang ini, pertama kali digunakan oleh John Wallis yang menggunakannya pada De Sectionibus Conicis tahun 1655 dan juga pada Arithmatica Infinitorum tahun 1656.

Tiga tahun kemudian Fermat’s mengidentifikasikan sebuah sifat penting dari bilangan bulat positif yaitu bahwa bilangan tersebut tidak mengandung sebuah urutan yang menurun yang tidak terbatas, metode ini diperkenalkan tahun 1659. Fermat menggunakan metodenya untuk membuktikan bahwa ada penyelesaian bilangan bulat tidak positif untuk x^4 + y^4 = z^4.

Newton menolak ketidakterbagian yang mendukung dari perubahannya terus menerus yang merupakan suatu perubahan yang cepat dari suatu jumlah.

Immanuel Kant menjelaskan bahwa The critique of pure reason (1781) bahwa ketidakterbatasan sebenarnya tidak dapat bertahan karena hal itu tidak dapat dirasakan. Gauss pada sebuah suratnya untuk Schumacher tahun 1831 menjelaskan perlawanan ketidakterbatasan sebenarnya “ketidakterbatasan hanya sebuah facon de farler, arti sebenarnya adalah sebuah keterbatasan yang rasio khusus mendekatkan ketidakterdefinisian sementara yang lainnya dibiarkan untuk tumbuh tanpa keterbatasan”.

Fenstad, pada The Legacy of Egypt melihat pada ketidakterbatasan dan analisis yang tidak biasa. Dia jua menyelidiki penggunaannya pada model fenomena alam.

Sumber :
Haza’a, Salah Kaduri. dkk. 2004. Sejarah Matematika Klasik dan Modern. Yogyakarta : Universitas Ahmad Dahlan Press.

Mengkuadratkan Lingkaran

Permasalahan mengkuadratkan lingkaran seperti yang kita pikirkan saat ini berawal dari
Matematika Yunani dan tidak selalu dapat dimengerti seluruhnya. Masalahnya adalah,
pada lingkaran, membangun secara geometri kuadrat yang sama pada bidang lingkaran.
Metode yang menerangkan untuk membuat bangunan tersebut tidak begitu jelas,
sebenarnya jangkauan metode yang digunakan dalam geometri oleh orang-orang Yunani
diperluas melalui beberapa pengujian untuk memecahkan masalah ini dan masalah klasik
lainnya. selengkapnya...